Question

15．已知$cos（α-\frac{π}{3}）=\frac{2}{3}$，$cos（β+\frac{π}{6}）=-\frac{2}{3}$，α是锐角，β是钝角，则sin（α-β）=（　　）

• A． $-\frac{1}{2}$
• B． -1
• C． $-\frac{{\sqrt{3}}}{6}$
• D． $-\frac{{\sqrt{3}}}{3}$

Answer 1

分析 根据同角的三角形函数的关系以及诱导公式和两角差的余弦公式计算即可

解答 解：$cos（α-\frac{π}{3}）=\frac{2}{3}$，$cos（β+\frac{π}{6}）=-\frac{2}{3}$，
∵α是锐角，β是钝角，
∴-$\frac{π}{3}$＜α-$\frac{π}{3}$＜$\frac{π}{2}$，$\frac{2}{3}$π＜β+$\frac{π}{6}$＜$\frac{7}{6}$π，
∴sin（α-$\frac{π}{3}$）=-$\frac{\sqrt{5}}{3}$，sin（β+$\frac{π}{6}$）=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，
sin（α-β）=cos[（α-$\frac{π}{3}$）-（β-$\frac{π}{6}$）]=cos（α-$\frac{π}{3}$）cos（β-$\frac{π}{6}$）-sin（α-$\frac{π}{3}$）sin（β-$\frac{π}{6}$）=$\frac{2}{3}$×（-$\frac{2}{3}$）+$\frac{\sqrt{5}}{3}$×（-$\frac{\sqrt{5}}{3}$）=-1
故选：B

点评 本题考查同角的三角形函数的关系以及诱导公式和两角差的余弦公式，属于基础题