在△ABC中.角A.B.C所对边分别为a.b.c.$\frac{sinA}{sinB+sinC}=1-\frac{a-b}{a-c}$．(I)设$\overrightarrow m=.\overrightarrow n=$.判断$\overrightarrow m•\overrightarrow n$最大时△ABC的形状．(II)若$b=\sqrt{3}$.求△ABC周长的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网——

题目内容

2．在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，$\frac{sinA}{sinB+sinC}=1-\frac{a-b}{a-c}$．
（I）设$\overrightarrow m=（{sinA，1}），\overrightarrow n=（{8cosB，cos2A}）$，判断$\overrightarrow m•\overrightarrow n$最大时△ABC的形状．
（II）若$b=\sqrt{3}$，求△ABC周长的取值范围．

分析（I）根据向量的运算求出$\overrightarrow m•\overrightarrow n$，利用三角函数的有界性求出最大值时A是角度．即可判断．
（II）通过正弦定理转化，利用三角函数的有界性△ABC周长的取值范围．

解答解：由题意，$\frac{sinA}{sinB+sinC}=1-\frac{a-b}{a-c}=\frac{b-c}{a-c}$，$\frac{a}{b+c}=\frac{b-c}{a-c}$，
a²+c²-b²=ac，
由余弦定理，可得$cosB=\frac{1}{2}$，则B=$\frac{π}{3}$．
（I）$\overrightarrow m•\overrightarrow n=8sinAcosB+cos2A=-2{sin^2}A+4sinA+1=-2{（sinA-1）^2}+3$
∴$\overrightarrow m•\overrightarrow n$最大时，则sinA=1，
∵$A∈（0，\frac{2π}{3}）$，
∴$A=\frac{π}{2}$，
故△ABC为直角三角形．
（II）由$b=\sqrt{3}$，
根据正弦定理：$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=\frac{{\sqrt{3}}}{{sin\frac{π}{3}}}=2$，
周长$l=a+b+c=\sqrt{3}+2sinA+2sinC$=$\sqrt{3}+2\sqrt{3}sin（A+\frac{π}{6}）$，
∵$A∈（0，\frac{2π}{3}）$
∴$A+\frac{π}{6}∈（\frac{π}{6}，\frac{5π}{6}）$，
∴$sin（A+\frac{π}{6}）∈（\frac{1}{2}，1）$
（∵$A+\frac{π}{6}=\frac{π}{2}$即$A=\frac{π}{3}$时，a=c，$\frac{sinA}{sinB+sinC}=1-\frac{a-b}{a-c}$不成立），
故得△ABC周长$l∈（2\sqrt{3}，3\sqrt{3}）$．

点评本题考查了正弦定理、三角函数的单调性与求值、锐角三角形的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

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纤维长度	（0，100）	[100，200）	[200，300）	[300，400）	[400，500]
甲地（根数）	3	4	4	5	4
乙地（根数）	1	1	2	10	6

（1）由以上统计数据，填写下面2×2列联表，并判断能否在犯错误概率不超过0.025的前提下认为“纤维长度与土壤环境有关系”．

	甲地	乙地	总计
长纤维	9	16	25
短纤维	11	4	15
总计	20	20	40

附：（1）${k^2}=\frac{{n{{（ad-bc）}^2}}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$；
（2）临界值表；

P（K²≥k₀）	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k₀	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

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