Question

17．已知抛物线C：x²=2py（p＞0），P，Q是C上任意两点，点M（0，-1）满足$\overrightarrow{MP}•\overrightarrow{MQ}≥0$，则p的取值范围是（0，2]．

Answer 1

分析 过G作抛物线的切线，根据导数的几何意义，求得k=±$\sqrt{\frac{2}{p}}$，只需令切线的夹角小于90°即可，则$\sqrt{\frac{2}{p}}$≥1，即可求得p的取值范围．

解答 解：过G点作抛物线的两条切线，设切线方程为y=kx-1，
切点坐标为M（x₀，y₀），N（-x₀，y₀），
由y=$\frac{{x}^{2}}{2p}$，y′=$\frac{1}{p}$x，
则由导数的几何意义可知$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}^{2}={2py}_{0}}\\{{y}_{0}=k{x}_{0}-1}\\{\frac{{x}_{0}}{p}=k}\end{array}\right.$，解得k=±$\sqrt{\frac{2}{p}}$．
$\overrightarrow{MP}•\overrightarrow{MQ}≥0$恒成立，∠AOB≤90°，即∠AGO≤45°，
∴|k|＞tan45°=1，即$\sqrt{\frac{2}{p}}$≥1，
解得p≤2，
由p＞0，则0＜p≤2，
p的取值范围：（0，2]，
故答案为：（0，2]．

点评 本题考查了直线与抛物线的位置关系，导数的几何意义，考查的数量积，考查数形结合思想，属于中档题．