Question

1．在△ABC中，a，b，c成等比数列，a²-c²=ac-bc．
（1）求A的大小；（2）求sinB+sinC的取值．

Answer 1

分析 （1）由题意和余弦定理可得cosA=$\frac{1}{2}$，可得A=$\frac{π}{3}$，
（2）由（1）可得C=$\frac{2π}{3}$-B，且B∈（0，$\frac{2π}{3}$），代入由三角函数公式化简可得sinB+sinC=$\sqrt{3}$sin（B+$\frac{π}{6}$），由三角函数的值域可得．

解答 解：（1）∵在△ABC中，a，b，c成等比数列，
∴b²=ac，又a²-c²=ac-bc，∴a²-c²=b²-bc，
∴a²=c²+b²-bc，由余弦定理可得a²=c²+b²-2bccosA，
∴cosA=$\frac{1}{2}$，由A为三角形内角可得A=$\frac{π}{3}$，
（2）由（1）和三角形内角和可得C=$\frac{2π}{3}$-B，且B∈（0，$\frac{2π}{3}$），
∴sinB+sinC=sinB+sin（$\frac{2π}{3}$-B）=sinB+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosB+$\frac{1}{2}$sinB
=$\frac{3}{2}$sinB+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosB=$\sqrt{3}$sin（B+$\frac{π}{6}$），
∵B∈（0，$\frac{2π}{3}$），∴B+$\frac{π}{6}$∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$），
∴sin（B+$\frac{π}{6}$）∈（$\frac{1}{2}$，1]，
∴$\sqrt{3}$sin（B+$\frac{π}{6}$）∈（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\sqrt{3}$]

点评 本题考查解三角形，涉及余弦定理和三角函数公式公式以及三角函数的值域，属中档题．