Question

如图所示，在四棱锥P-ABCD中，AB⊥AD，AD⊥DC，PA⊥底面ABCD，PA=AD=DC=

1

2

AB=1，M为PC的中点，N在AB上且AN=

1

3

NB．
（Ⅰ）证明：MN∥平面PAD；
（Ⅱ）求三棱锥B-PNC的体积．

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定,棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）过M在平面PCD内作ME∥DC交PD于E，连接AE，证明EMAN为平行四边形，可得MN∥AE，即可证明MN∥平面PAD；
（Ⅱ）利用V_B-PNC=V_P-BNC=

1

3

S△BNC•PA，即可求三棱锥B-PNC的体积．

解答： （Ⅰ）证明：过M在平面PCD内作ME∥DC交PD于E，连接AE，
则ME平行且等于

1

2

DC，…（2分）
又DC=1，∴ME=

1

2

又AB⊥AD，AD⊥DC，∴DC∥AB
又AN=

1

3

NB=

1

4

AB=

1

2

，∴ME平行且等于AN，
∴EMAN为平行四边形 …（4分）
∴MN∥AE，∴MN∥平面PAD，…（6分）
（Ⅱ）解：∵PA⊥底面ABCD，
∴V_B-PNC=V_P-BNC=

1

3

S△BNC•PA=

1

4

．…（12分）

点评：本题考查直线与平面平行的判定，考查三棱锥B-PNC的体积，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．