Question

如图，在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱VA⊥底面ABCD，点E为VA的中点．
（Ⅰ）求证：VC∥平面BED；
（Ⅱ）求证：平面VAC⊥平面BED．

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定,直线与平面垂直的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）连结OE，证明：OE∥VC，利用线面平行的判定定理证明VC∥平面BED；
（Ⅱ）证明BD⊥平面VAC，利用平面与平面垂直的判定定理证明平面VAC⊥平面BED．

解答： 证明：（Ⅰ）连结OE．
∵底面ABCD是正方形，∴O为AC的中点．
又E为VA的中点，∴OE∥VC．…（3分）
又VC?平面BED，OE?平面BED，
∴VC∥平面BED．…（6分）
（Ⅱ）∵VA⊥平面ABCD，∴VA⊥BD．…（7分）
又 AC⊥BD，AC∩VA=A，
∴BD⊥平面VAC．…（10分）
∵BD?平面BED，
∴平面VAC⊥平面BED．…（12分）

点评：本题考查线面平行的判定定理、考查平面与平面垂直的判定定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．