Question

已知线段AB的端点B在圆C₁：x²+（y-4）²=16上运动，端点A的坐标为（4，0），线段AB中点为M，
（Ⅰ）试求M点的轨C₂方程；
（Ⅱ）若圆C₁与曲线C₂交于C，D两点，试求线段CD的长．

Answer 1

考点：轨迹方程

专题：直线与圆

分析：（Ⅰ）设出M和B的坐标，由中点坐标公式把B的坐标用m的坐标表示，代入圆C₁的方程得答案；
（Ⅱ）求出圆C₁的圆心坐标和半径，求出圆心到直线CD的距离利用勾股定理得答案．

解答： 解：（Ⅰ）设M（x，y），B（x′，y′），
则由题意可得：

x= x′+4 2 y= y′ 2

，解得：

x′=2x-4 y′=2y

，
∵点B在圆C₁：x²+（y-4）²=16上，
∴（x′）²+（y′-4）²=16，
∴（2x-4）²+（2y-4）²=16，即（x-2）²+（y-2）²=4．
∴轨迹C₂方程为（x-2）²+（y-2）²=4；
（Ⅱ）由方程组

(x-2)2+(y-2)2=4 x2+(y-4)2=16

，解得直线CD的方程为x-y-1=0，
圆C₁ 的圆心C₁（0，4）到直线CD的距离为d=

|-4-1|

2

=

5 2

2

，
圆C₁ 的半径为4，
∴线段CD的长为|CD|=2

42-( 5 2 2 )2

=

14

．

点评：本题考查了代入法求圆的方程，考查了直线和圆的关系，训练了点到直线距离公式的应用，是中档题．