Question

若

e1

，

e2

，

e3

为同一平面内互不共线的三个单位向量，并满足

e1

+

e2

+

e3

=

0

，且向量

a

=x

e1

+

n

x

e2

+（x+

n

x

）

e3

 （x∈R，x≠0，n∈N₊）．
（Ⅰ）求

e1

与

e2

所成角的大小；    
（Ⅱ）记f（x）=|

a

|，试求f（x）的单调区间及最小值．

Answer 1

考点：数量积表示两个向量的夹角,函数单调性的判断与证明,函数的最值及其几何意义

专题：平面向量及应用

分析：（1）首先利用函数的数量积求出向量的夹角．
（2）首先把向量的模长转化为求向量的数量级，进一步利用导数求出单调区间，最后确定最值．

解答： 解：（ I ） 依题设：|

e1

|=||

e2

=|

e3

|=1，且

e1

+

e2

=-

e3

⇒（

e1

+

e2

）²=（-

e3

）²，化简得：

e1

•

e2

=-

1

2

⇒cos＜

e1

，

e2

＞=-

1

2

，又＜

e1

，

e2

＞∈[0，π]⇒＜

e1

，

e2

＞=

2π

3

．
（ II ）由 （ I ）易知：

e2

•

e3

=

e3

•

e1

=

e1

•

e2

=-

1

2

，
故由f（x）=|

a

|=

[x e1 + n x e2 +(x+ n x ) e3 ]2

，
将其展开整理得：f（x）=

x2+( n x )2-n

 （x∈R，x≠0，n∈N₊）．①x＞0时，对u（x）=x²+（

n

x

）²-n，求导并整理得：u′（x）=

2(x2+n)(x2-n)

x3

．
则由u′（x）＞0⇒x＞

n

，
且由u′（x）＜0⇒0＜x＜

n

．即f（x）的增区间为（

n

，+∞），减区间为（0，

n

）．
②x＜0时，因f（x）为偶函数，由图象的对称性知：f（x）的增区间为（-

n

，0），减区间为（-∞，-

n

）．
综上：f（x）的增区间为 （-

n

，0）与 （

n

，+∞），f（x）的减区间为（-∞，-

n

） 和 （0，

n

）．
再由均值不等式易求得：|x|=

n

时，f（x）_min=

n

．

点评：本题考查的知识点：向量的数量积，向量的夹角，向量的模，均值不等式，利用导数求函数的单调区间和最值及相关的运算问题．