Question

要使满足关于x的不等式2x²-9x+a＜0（解集非空）的每一个x的值至少满足不等式x²-4x+3＜0和x²-6x+8＜0中的一个，则实数a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：一元二次不等式的解法

专题：

分析：不等式x²-4x+3＜0的解集为（1，3）；x²-6x+8＜0的解集为（2，4）．由于关于x的不等式2x²-9x+a＜0的解集非空，可得△＞0，可得a＜

81

8

．其解集为{x|

9- 81-8a

4

＜x＜

9+ 81-8a

4

}．由于关于x的不等式2x²-9x+a＜0（解集非空）的每一个x的值至少满足不等式x²-4x+3＜0和x²-6x+8＜0中的一个，可得

9- 81-8a 4 ≥1 9+ 81-8a 4 ≤4 a＜ 81 8

，解得即可．

解答： 解：不等式x²-4x+3＜0的解集为（1，3）；x²-6x+8＜0的解集为（2，4）．
∵关于x的不等式2x²-9x+a＜0的解集非空，∴△=81-8a＞0，解得a＜

81

8

．
∴

9- 81-8a

4

＜x＜

9+ 81-8a

4

．
由于关于x的不等式2x²-9x+a＜0（解集非空）的每一个x的值至少满足不等式x²-4x+3＜0和x²-6x+8＜0中的一个，
∴

9- 81-8a 4 ≥1 9+ 81-8a 4 ≤4 a＜ 81 8

，解得7≤a＜

81

8

．
∴实数a的取值范围是[7，

81

8

)．
故答案为：[7，

81

8

)．

点评：本题考查了一元二次不等式的解法，考查了推理能力和计算能力，考查了问题的转化能力，属于难题．