Question

已知函数f（x）=|2x-a|+a．
（Ⅰ）若不等式f（x）≤6的解集为{x|-2≤x≤3}，求实数a的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若存在实数n使f（n）≤m-f（-n）成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法,函数最值的应用

专题：不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ）不等式f（x）≤6，即

6-a≥0 a-6≤2x-a≤a-6

，求得a-3≤x≤3．再根据不等式的解集为{x|-2≤x≤3}，可得a-3=-2，从而求得实数a的值．
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，f（n）=|2n-1|+1，即f（n）+f（-n）≤m，即|2n-1|+|2n+1|+2≤m．求得|2n-1|+|2n+1|的最小值为2，可得m的范围．

解答： 解：（Ⅰ）∵函数f（x）=|2x-a|+a，故不等式f（x）≤6，即

6-a≥0 a-6≤2x-a≤a-6

，求得 a-3≤x≤3．
再根据不等式的解集为{x|-2≤x≤3}，可得a-3=-2，∴实数a=1．
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，f（x）=|2x-1|+1，∴f（n）=|2n-1|+1，存在实数n使f（n）≤m-f（-n）成立，
即f（n）+f（-n）≤m，即|2n-1|+|2n+1|+2≤m．
由于|2n-1|+|2n+1|≥|（2n-1）-（2n+1）|=2，∴|2n-1|+|2n+1|的最小值为2，∴m≥4，
故实数m的取值范围是[4，+∞）．）

点评：本题主要考查分式不等式的解法，绝对值三角不等式的应用，体现了等价转化的数学思想，属于基础题．