Question

16．平面直角坐标系xOy中，A（2，4），B（-1，2），C，D为动点，
（1）若C（3，1），求平行四边形ABCD的两条对角线的长度
（2）若C（a，b），且$\overrightarrow{CD}=（3，1）$，求$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BD}$取得最小值时a，b的值．

Answer 1

分析 （1）$\overrightarrow{AC}$=（1，-3），$\overrightarrow{BA}$=（3，2）．可得$|\overrightarrow{AC}|$．由平行四边形的性质可得：$\overrightarrow{CD}$=$\overrightarrow{BA}$，可得$\overrightarrow{OD}$=$\overrightarrow{OC}$+$\overrightarrow{BA}$．可得$\overrightarrow{BD}$．
（2）C（a，b），且$\overrightarrow{CD}=（3，1）$，可得$\overrightarrow{OD}$=$\overrightarrow{OC}$+（3，1），可得$\overrightarrow{BD}$=（a+4，b-1）．$\overrightarrow{AC}$=（a-2，b-4）．利用数量积运算性质、二次函数的单调性即可得出．

解答 解：（1）$\overrightarrow{AC}$=（1，-3），$\overrightarrow{BA}$=（3，2）．
$|\overrightarrow{AC}|$=$\sqrt{{1}^{2}+（-3）^{2}}$=$\sqrt{10}$．
由平行四边形的性质可得：$\overrightarrow{CD}$=$\overrightarrow{BA}$，可得$\overrightarrow{OD}$=$\overrightarrow{OC}$+$\overrightarrow{BA}$=（6，3）．
∴$\overrightarrow{BD}$=（7，1），可得：$|\overrightarrow{BD}|$=$\sqrt{{7}^{2}+{1}^{2}}$=5$\sqrt{2}$．
（2）C（a，b），且$\overrightarrow{CD}=（3，1）$，∴$\overrightarrow{OD}$=$\overrightarrow{OC}$+（3，1）=（a+3，b+1）．
∴$\overrightarrow{BD}$=（a+4，b-1）．
$\overrightarrow{AC}$=（a-2，b-4）．
∴$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BD}$=（a-2）（a+4）+（b-4）（b-1）=a²+2a-8+b²-5b+4
=（a+1）²+$（b-\frac{5}{2}）^{2}$-$\frac{45}{4}$≥$-\frac{45}{4}$，当且仅当a=-1，b=$\frac{5}{2}$时取等号．

点评 本题考查了向量坐标运算性质、数量积运算性质、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．