Question

7．已知函数f（x）=log_a（x+1）+log_a（3-x）（a＞0且a≠1），且f（1）=2
（1）求a的值及f（x）的定义域；
（2）若不等式f（x）≤c的恒成立，求实数c的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由f（1）=log_a2+log_a2=2，解得a=2．可得f（x）=log₂（x+1）+log₂（3-x），由$\left\{\begin{array}{l}{x+1＞0}\\{3-x＜0}\end{array}\right.$，可得函数f（x）的定义域．
（2）由（1）可知：f（x）=log₂（x+1）+log₂（3-x）=log₂（x+1）（3-x）=$lo{g}_{2}[-（x-1）^{2}+4]$，利用二次函数与对数函数的单调性即可得出．

解答 解：（1）∵f（1）=log_a2+log_a2=2，解得a=2．
∴f（x）=log₂（x+1）+log₂（3-x），
由$\left\{\begin{array}{l}{x+1＞0}\\{3-x＜0}\end{array}\right.$，解得-1＜x＜3，
可得函数f（x）的定义域为：（-1，3）．
（2）由（1）可知：f（x）=log₂（x+1）+log₂（3-x）=log₂（x+1）（3-x）=$lo{g}_{2}（-{x}^{2}+2x+3）$=$lo{g}_{2}[-（x-1）^{2}+4]$，
可知：当x=1时，函数f（x）取得最大值，f（1）=log₂4=2．
由不等式f（x）≤c的恒成立，∴c≥2．
∴实数c的取值范围是[2，+∞）．

点评 本题考查了二次函数与对数函数的单调性、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．