Question

8．水培植物需要一种植物专用营养液．已知每投放a（1≤a≤4且a∈R）个单位的营养液，它在水中释放的浓度y（克/升）随着时间x（天）变化的函数关系式近似为y=af（x），其中f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{4+x}{4-x}（0≤x≤2）}\\{\;}\\{5-x（2＜x≤5）}\end{array}\right.$，若多次投放，则某一时刻水中的营养液浓度为每次投放的营养液在相应时刻所释放的浓度之和，根据经验，当水中营养液的浓度不低于4（克/升）时，它才能有效．
（1）若只投放一次4个单位的营养液，则有效时间可能达几天？
（2）若先投放2个单位的营养液，3天后投放b个单位的营养液．要使接下来的2天中，营养液能够持续有效，试求b的最小值．

Answer 1

分析 （1）营养液有效则需满足y≥4，由分段函数，对x讨论，解不等式即可得到结论；
（2）设第二次投放营养液的持续时间为x天，则此时第一次投放营养液的持续时间为（x+3）天，且0≤x≤2；设y₁为第一次投放营养液的浓度，y₂为第二次投放营养液的浓度，y为水中的营养液的浓度；可得y₁=2[5-（x+3）]=4-2x，y₂=b•$\frac{4+x}{4-x}$，y=y₁+y₂=4-2x+b•$\frac{4+x}{4-x}$≥4在[0，2]上恒成立，运用参数分离和换元法，结合基本不等式，即可得到b的最小值．

解答 解：（1）营养液有效则需满足y≥4，则$\left\{\begin{array}{l}{0≤x≤2}\\{4•\frac{4+x}{4-x}≥4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{2＜x≤5}\\{4（5-x）≥4}\end{array}\right.$，
即为0≤x≤2或2＜x≤4，
解得0≤x≤4，
所以营养液有效时间可达4天；
（2）设第二次投放营养液的持续时间为x天，
则此时第一次投放营养液的持续时间为（x+3）天，且0≤x≤2；
设y₁为第一次投放营养液的浓度，y₂为第二次投放营养液的浓度，
y为水中的营养液的浓度；
∴y₁=2[5-（x+3）]=4-2x，y₂=b•$\frac{4+x}{4-x}$，
y=y₁+y₂=4-2x+b•$\frac{4+x}{4-x}$≥4在[0，2]上恒成立，
∴b≥2x•$\frac{4-x}{4+x}$在[0，2]上恒成立
令t=4+x，t∈[4，6]，则b≥-2（t+$\frac{32}{t}$）+24，
又-2（t+$\frac{32}{t}$）+24≤24-2•2$\sqrt{t•\frac{32}{t}}$=24-16$\sqrt{2}$，
当且仅当t=$\frac{32}{t}$，即t=4$\sqrt{2}$时，取等号；
所以b的最小值为24-16$\sqrt{2}$．
答：要使接下来的2天中，营养液能够持续有效，b的最小值为24-16$\sqrt{2}$．

点评 本题考查函数模型在实际问题中的运用，考查函数的最值求法，注意运用基本不等式，考查运算能力，属于中档题．