Question

已知函数f₁（x）=e^|x-2a+1|，f₂（x）=e^|x-a|+1，x∈R，1≤a≤6．
（1）若a=2，求使f₁（x）=f₂（x）的x的值；
（2）若|f₁（x）-f₂（x）|=f₂（x）-f₁（x）对于任意的实数x恒成立，求a的取值范围；
（3）求函数g（x）=

f1(x)+f2(x)

2

-

|f1(x)-f2(x)|

2

在[1，6]上的最小值．

Answer 1

考点：指数函数综合题,指数型复合函数的性质及应用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）若a=2，解方程f₁（x）=f₂（x）即可求x的值；
（2）若|f₁（x）-f₂（x）|=f₂（x）-f₁（x）对于任意的实数x恒成立，转化为f₁（x）≤f₂（x）恒成立，即可求a的取值范围；
（3）求出g（x）的表达式，讨论a的取值范围即可求出函数的最值．

解答： 解：（1）若a=2，则f₁（x）=e^|x-3|，f₂（x）=e^|x-2|+1，
由f₁（x）=f₂（x）得e^|x-3|=e^|x-2|+1，
即|x-3|=|x-2|+1，
若x≥3，则方程等价为x-3=x-2+1，即-3=-1，不成立，
若2＜x＜3，则方程等价为-x+3=x-2+1，即2x=4，解得x=2，不成立，
若x＜2，则方程等价为-x+3=-x+2+1，此时恒成立；
综上使f₁（x）=f₂（x）的x的值满足x＜2．
（2）即f₁（x）≤f₂（x）恒成立，得|x-2a+1|≤|x-a|+1，
即|x-2a+1|-|x-a|≤1对x∈R恒成立，
因|x-2a+1|-|x-a|≤|a-1|，
故只需|a-1|≤1，解得0≤a≤2，
又1≤a≤6，
故a的取值范围为1≤a≤2．
（3）g(x)=

f1(x)，f1(x)≤f2(x) f2(x)，f1(x)＞f2(x).

①当1≤a≤2时，由（2）知g(x)=f1(x)=e|x-2a+1|，
当x=2a-1∈[1，3]时，g（x）_min=1．
②当2＜a≤6时，（2a-1）-a=a-1＞0，
故2a-1＞a．x≤a时，f1(x)=e-x+(2a-1)＞e-x+a+1=f2(x)，g(x)=f2(x)=e|x-a|+1；
x≥2a-1时，f1(x)=ex-(2a-1)＜ex-a+1=f2(x)，g(x)=f1(x)=e|x-2a+1|；
a＜x＜2a-1时，由f1(x)=e-x+(2a-1)≤ex-a+1=f2(x)，得x≥

3a-2

2

，其中a＜

3a-2

2

＜2a-1，
故当

3a-2

2

≤x＜2a-1时，g(x)=f1(x)=e|x-2a+1|；
当a＜x＜

3a-2

2

时，g(x)=f2(x)=e|x-a|+1．
因此，当2＜a≤6时，g(x)=

f1(x)，x≥ 3a-2 2 f2(x)，x＜ 3a-2 2 .

令f1(x)=e|x-2a+1|=e，得x₁=2a-2，x₂=2a，且

3a-2

2

＜2a-2，如图，
（ⅰ）当a≤6≤2a-2，即4≤a≤6时，g（x）_min=f₂（a）=e；
（ⅱ） 当2a-2＜6≤2a-1，即

7

2

≤a＜4时，g(x)min=f1(6)=e2a-7；
（ⅲ） 当2a-1＜6，即2＜a＜

7

2

时，g（x）_min=f₁（2a-1）=1．
综上所述，g(x)min=

1，(1≤a＜ 7 2 ) e2a-7，( 7 2 ≤a＜4) e，(4≤a≤6).

．

点评：本题主要考查函数性质的应用，利用指数函数的图象和性质是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大，有一定的难度．