Question

设函数f（x）=x²+aln（x+1）有两个极值点x₁，x₂，且x₁＜x₂．
（1）求实数a的取值范围，并讨论函数f（x）的单调性；
（2）若对任意的x∈（x₁，+∞），都有f（x）＞k成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值

专题：函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：（1）求导f′(x)=2x+

a

x+1

=

2x2+2x+a

x+1

（x＞-1），再令g（x）=2x²+2x+a（x＞-1），则其对称轴为x=-

1

2

，从而可得

△=4-8a＞0 g(-1)=a＞0

；从而解a；
可知f′(x)=

2x2+2x+a

x+1

=

2(x-x1)(x-x2)

x+1

，其中-1＜x₁＜x₂，从而由导数确定函数的单调性；
（2）由（1）可知f（x）在区间（x₁，+∞）上的最小值为f（x₂），从而得到g(x2)=2

x

2 2

+2x2+a=0，从而可得a=-(2

x

2 2

+2x2)，化简f(x2)=

x

2 2

+aln(x2+1)=

x

2 2

-(2

x

2 2

+2x2)ln(x2+1)，设h（x）=x²-（2x²+2x）ln（x+1），其中-

1

2

＜x＜0；求导h′（x）=2x-2（2x+1）ln（x+1）-2x=-2（2x+1）ln（x+1），从而化恒成立问题为最值问题．

解答： 解：（1）由f（x）=x²+aln（x+1）可得f′(x)=2x+

a

x+1

=

2x2+2x+a

x+1

（x＞-1），
令g（x）=2x²+2x+a（x＞-1），则其对称轴为x=-

1

2

，
故由题意可知x₁，x₂是方程g（x）=0的两个均大于-1的不相等的实数根，
其充要条件为

△=4-8a＞0 g(-1)=a＞0

；
解得0＜a＜

1

2

；
可知f′(x)=

2x2+2x+a

x+1

=

2(x-x1)(x-x2)

x+1

，其中-1＜x₁＜x₂，故
①当x∈（-1，x₁）时，f′（x）＞0，即f（x）在区间（-1，x₁）上单调递增，
②当x∈（x₁，x₂）时，f′（x）＜0，即f（x）在区间（x₁，x₂）上单调递减，
③当x∈（x₂，+∞）时，f′（x）＞0，即f（x）在区间（x₂，+∞）上单调递增；
（2）由（1）可知f（x）在区间（x₁，+∞）上的最小值为f（x₂），
又由于g（0）=a＞0，因此-

1

2

＜x2＜0．
又由g(x2)=2

x

2 2

+2x2+a=0，
可得a=-(2

x

2 2

+2x2)，
从而f(x2)=

x

2 2

+aln(x2+1)=

x

2 2

-(2

x

2 2

+2x2)ln(x2+1)，
设h（x）=x²-（2x²+2x）ln（x+1），其中-

1

2

＜x＜0；
则h′（x）=2x-2（2x+1）ln（x+1）-2x=-2（2x+1）ln（x+1），
由-

1

2

＜x＜0知：2x+1＞0，ln（x+1）＜0，
故h′（x）＞0，故h（x）在(-

1

2

，0)上单调递增；
所以，f(x2)=h(x2)＞h(-

1

2

)=

1-2ln2

4

；
所以，实数k的取值范围为k≤

1-2ln2

4

．

点评：本题考查了导数的综合应用及恒成立问题的应用，属于中档题．