Question

如图，在△ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a²=b²+c²+bc，a=

3

，S为△ABC的面积，圆O是△ABC的外接圆，P是圆 O上一动点，当S+

3

cosBcosC取得最大值时，

PA

•

PB

的最大值为

 

．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,平面向量数量积的运算,正弦定理

专题：解三角形,平面向量及应用

分析：根据余弦定理可得A=

2π

3

，进而由正弦定理可得：三角形外接圆半径R=1，则当B=C=

π

6

时，S+

3

cosBcosC取得最大值建立坐标系，设P（cosθ，sinθ），求出向量

PA

，

PB

的坐标，进而将

PA

•

PB

化为正弦型函数的形式，可得其最大值．

解答： 解：∵a²=b²+c²+bc，
∴cosA=

b2+c2-a2

2bc

=-

1

2

，
又由A为三角形内角，
∴A=

2π

3

设圆O的半径为R，则2R=

a

sinA

=

3

sin 2π 3

=2，
∴R=1，
∴S+

3

cosBcosC=

1

2

bcsinA+

3

cosBcosC=

3

4

bc+

3

cosBcosC=

3

sinBsinC+

3

cosBcosC=

3

cos(B-C)
当B=C=

π

6

时，S+

3

cosBcosC取得最大值
建立如图直角坐标系，则A（0，1），B(-

3

2

，

1

2

)，C(

3

2

，

1

2

)，

设P（cosθ，sinθ），则

PA

•

PB

=(cosθ，sinθ-1)(cosθ+

3

2

，sinθ-

1

2

)=

3

2

cosθ-

3

2

sinθ+

3

2

=

3

2

+

3

cos(θ+

π

3

)
当且仅当cos(θ+

π

3

)=1时，

PA

•

PB

取最大值

3

2

+

3

．
故答案为：

3

2

+

3

．

点评：本题考查的知识点是正弦定理，余弦定理，向量的数量积运算，是三角函数与平面向量的综合应用，难度中档．