题目内容
已知
=（sin
，cos
），
=（-sin
，cos
），且θ∈[0，
]．
（1）求
的最值；
（2）若|k
+
|=
|
-k
|（k∈R），求k的取值范围．
| a |
| 4θ |
| 3 |
| 4θ |
| 3 |
| b |
| 2θ |
| 3 |
| 2θ |
| 3 |
| π |
| 3 |
（1）求
| ||||
|
|
（2）若|k
| a |
| b |
| 3 |
| a |
| b |
考点：平面向量数量积的运算
专题：计算题,三角函数的求值,三角函数的图像与性质,平面向量及应用
分析：（1）运用向量的数量积的坐标表示，求得向量a，b的数量积和a，b的和的模，再由二倍角公式及θ的范围，结合余弦函数的单调性，即可得到最值；
（2）运用向量的平方即为模的平方，化简整理，由余弦函数的单调性，得到k的不等式，解得即可．
（2）运用向量的平方即为模的平方，化简整理，由余弦函数的单调性，得到k的不等式，解得即可．
解答：
解：（1）
=（sin
，cos
），
=（-sin
，cos
），
则
•
=cos
cos
-sin
sin
=cos（
+
）=cos2θ，
|
+
|=
=
=|2cosθ|=2cosθ，
则
=
=
=cosθ-
，
由θ∈[0，
]，则cosθ∈[
，1]，
则令t=cosθ，则有t-
递增，当t=1，取得最大值
，t=
，取得最小值-
．
则有θ=0，
的最大值为
；θ=
时，
的最小值为-
；
（2）若|k
+
|=
|
-k
|，则（k
+
）2=3（
-k
）2，
即有k2
2+
2+2k
•
=3（
2+k2
2-2k
•
）
k2+1+2kcos2θ=3+3k2-6kcos2θ，
即cos2θ=
，
由于θ∈[0，
]，则2θ∈[0，
]，cos2θ∈[-
，1]，
即有-
≤
≤1，
解得，2-
≤k≤2+
．
则k的取值范围为[2-
，2+
]．
| a |
| 4θ |
| 3 |
| 4θ |
| 3 |
| b |
| 2θ |
| 3 |
| 2θ |
| 3 |
则
| a |
| b |
| 2θ |
| 3 |
| 4θ |
| 3 |
| 2θ |
| 3 |
| 4θ |
| 3 |
| 2θ |
| 3 |
| 4θ |
| 3 |
|
| a |
| b |
|
| 1+1+2cos2θ |
则
| ||||
|
|
| cos2θ |
| 2cosθ |
| 2cos2θ-1 |
| 2cosθ |
| 1 |
| 2cosθ |
由θ∈[0，
| π |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
则令t=cosθ，则有t-
| 1 |
| 2t |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
则有θ=0，
| ||||
|
|
| 1 |
| 2 |
| π |
| 3 |
| ||||
|
|
| 1 |
| 2 |
（2）若|k
| a |
| b |
| 3 |
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
即有k2
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
k2+1+2kcos2θ=3+3k2-6kcos2θ，
即cos2θ=
| 1+k2 |
| 4k |
由于θ∈[0，
| π |
| 3 |
| 2π |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
即有-
| 1 |
| 2 |
| 1+k2 |
| 4k |
解得，2-
| 3 |
| 3 |
则k的取值范围为[2-
| 3 |
| 3 |
点评：本题考查平面向量的数量积的坐标表示和性质，考查三角函数的化简和求值，考察余弦函数的单调性和值域，考查运算能力，属于中档题．
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=λ
+（1-λ）
，其中O为坐标原点，若不等式|
|≤k恒成立，则称函数f（x）在[a，b]上“k阶线性近似”．若函数y=x+
在[1，2]上“k阶线性近似”，则实数k的取值范围为（ ）
| ON |
| OA |
| OB |
| MN |
| 1 |
| x |
| A、[0，+∞） | ||||
| B、[1，+∞） | ||||
C、[
| ||||
D、[
|
与双曲线x2-
=1有共同渐近线，且过点（2，
）的双曲线方程是（ ）
| y2 |
| 2 |
| 2 |
A、
| ||||
B、
| ||||
C、
| ||||
D、
|
数列{an}的通项公式为an=（-1）n+1•
，则a7=（ ）
| n+1 |
| n |
| A、8 | ||
B、-
| ||
C、
| ||
| D、7 |
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