Question

2．已知命题p：方程$\frac{{x}^{2}}{m+6}$+$\frac{{y}^{2}}{m-7}$=1表示双曲线，命题q：?x∈R，mx²+2mx+2m-1≤0．
（Ⅰ）若命题q为真，求实数m的取值范围；
（Ⅱ）若p∨q为真，￢q为真，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）分类讨论及结合一元二次不等式的性质进行求解即可；
（Ⅱ）若p∨q为真，￢q为真，则p为真命题，q为假命题，建立不等式关系求解即可．

解答 解：（Ⅰ）∵命题q为真，
当m＞0时，△=4m²-4m（2m-1）≥0，∴0≤m≤1，故0＜m≤1；
当m=0时，-1≤0，符合题意；
当m＜0时，?x∈R，mx²+2mx+2m-1≤0成立．
综上，m≤1；
（Ⅱ）若命题p为真，则（m+6）（m-7）＜0，即-7＜m＜6．
∵若p∨q为真，￢q为真，
∴p为真命题，q为假命题．
∴$\left\{\begin{array}{l}{m＞1}\\{-6＜m＜7}\end{array}\right.$，解得1＜m＜7．
∴实数m的取值范围是（1，7）．

点评 本题考查了双曲线的标准方程、一元二次不等式的解集与判别式的关系、复合命题真假的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．