Question

1．双曲线Γ的两焦点分别为F₁，F₂，若在双曲线Γ上存在点P，使△F₁PF₂为顶角为120°的等腰三角形，则双曲线Γ的离心率为（　　）

• A． $\sqrt{2}$+1
• B． $\sqrt{3}$
• C． $\frac{\sqrt{3}+1}{2}$
• D． $\sqrt{5}$-1

Answer 1

分析 由题可知，等腰三角形的底为PF₁，等腰三角形的腰F₁F₂=PF₂=2c，可得P的坐标，代入双曲线方程，进而计算可得结论．

解答 解：由题双曲线Γ的两焦点分别为F₁，F₂，若在双曲线Γ上存在点P，使△F₁PF₂为顶角为120°的等腰三角形，
不妨等腰三角形的底为PF₁，等腰三角形的腰F₁F₂=PF₂=2c，经过F₂的直线与双曲线的交点为p，直线的斜率为：$\sqrt{3}$
∴P（2c，$\sqrt{3}$c）
代入双曲线方程可得$\frac{4{c}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{3{c}^{2}}{{b}^{2}}$=1，
∴4e⁴-8e²+1=0，
∴e=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$．
故选：C．

点评 本题考查求双曲线的离心率，考查分析问题、解决问题的能力，注意解题方法的积累，属于中档题．