Question

（选修4--4：坐标系与参数方程）在直角坐标系xoy中，曲线M的参数方程为

x=sinθ+cosθ y=sin2θ

（θ为参数），若以该直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线N的极坐标方程为：ρsin（θ+

π

4

）=

2

2

t（其中t为常数）．
（1）求曲线M的普通方程；
（2）若曲线N与曲线M只有一个公共点，求t的取值范围．

Answer 1

考点：参数方程化成普通方程

专题：坐标系和参数方程

分析：本题（1）考查曲线M的参数方程为

x=sinθ+cosθ y=sin2θ

（θ为参数），曲线N的极坐标方程为：ρsin（θ+

π

4

）=

2

2

t（其中t为常数）化为普通方程，（2）采用数形结合容易解决．

解答：（1）∵x=sinθ+cosθ=

2

sin(θ+

π

4

)∈[-

2

，

2

]
∴x²=sin²θ+cos²θ+2sinθcosθ=1+sin2θ
即得曲线M的普通方程为：y=x²-1（|x|≤

2

）
（2）曲线M是抛物线的一部分；
对于曲线N，
∵曲线N的极坐标方程为：ρsin（θ+

π

4

）=

2

2

t（其中t为常数）．
∴化成直角坐标方程为x+y=t，曲线N是一条直线．
若曲线M，N只有一个公共点，则有直线N过点时满足要求，并且向左下方平行运动直到过点（-

2

，1）之前总是保持只有一个公共点，再接着向左下方平行运动直到相切之前总是有两个公共点，所以-

2

+1＜t≤

2

+1满足要求，
相切时仍然只有一个公共点，由t-x=x²-1，得x²+x-1-t=0，△=1+4（1+t）=0，得t=-

5

4

，
∴t的取值范围为-

2

+1＜t≤

2

+1或t=-

5

4

点评：本题的考点是坐标系与参数方程，难点是方程的转化，一道高考常见题型