题目内容

在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为
x=2cosα
y=3sinα
（α为参数）．M是C1上的动点，N点满足
ON
=2
OM
，N点的轨迹为曲线C2
（1）求C2的方程；
（2）以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程式ρ=2，正三角形ABC的顶点都在C2上，且A，B，C依逆时针次序排列，点A的极坐标为（2，
π
6
），设P是C2上任意一点，求|PA|2+|PB|2+|PC|2的取值范围．
考点：参数方程化成普通方程
专题：坐标系和参数方程
分析：（1）设点N的坐标为（x，y），根据题意，用x、y表示出点M的坐标，然后根据M是C1上的动点，代入求出C2的参数方程即可；
（2）分别求出A、B、C三点的坐标，设P（4cosα，6sinα），令S=|PA|2+|PB|2+|PC|2，表示出S，求出S的取值范围即可．
解答：解：（1）设点N的坐标为（x，y），
则由
ON
=2
OM
，可得点M的坐标为（
x
2
，
y
2
），
根据M是C1上的动点，可得
x
2
=2cosα
y
2
=3sinα
，
故C2的参数方程为
x=4cosα
y=6sinα
 （α为参数）；
（2）由已知可得A（2cos
π
6
，2sin
π
6
），B(2cos(
π
6
+
2π
3
)，2sin(
π
6
+
2π
3
))，
C(2cos(
π
6
+
4π
3
)，2sin(
π
6
+
4π
3
))，
即A（
3
，1），B（-
3
，1），C（0，-2）；
设P（4cosα，6sinα），令S=|PA|2+|PB|2+|PC|2，
则S=60+60sin2α，
因为0≤sin2α≤1，
所以S的取值范围是[60，120]，
即|PA|2+|PB|2+|PC|2的取值范围是[60，120]．
点评：本题主要考查了轨迹方程的求解，考查代入法，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知点P是曲线C：ρ2=
3
2-cos2θ
上的一个动点，则P到直线l：
x=-1+
2
2
t
y=3+
2
2
t
（t为参数）的最长距离为
 
．
已知在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是
x=
2
2
t
y=
2
2
t+4
2
（t是参数），以原点O为极点，Ox为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为p=2cos（θ+
π
4
）．
（1）求圆心C的直角坐标；
（2）由直线l上的点向圆C引切线，求切线长的最小值．
（选修4--4：坐标系与参数方程）在直角坐标系xoy中，曲线M的参数方程为
x=sinθ+cosθ
y=sin2θ
（θ为参数），若以该直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线N的极坐标方程为：ρsin（θ+
π
4
）=
2
2
t（其中t为常数）．
（1）求曲线M的普通方程；
（2）若曲线N与曲线M只有一个公共点，求t的取值范围．
在平面直角坐标系xOy中，已知C1：
x=cosθ
y=sinθ
（θ为参数），将C1上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的
2
和2倍后得到曲线C2以平面直角坐标系xOy的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线l：ρ（
2
cosθ+sinθ）=4
（1）试写出曲线C1的极坐标方程与曲线C2的参数方程；
（2）在曲线C2上求一点P，使点P到直线l的距离最小，并求此最小值．
已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的非负半轴重合．若曲线C1的方程为ρsin（θ-
π
6
）+2
3
=0，曲线C2的参数方程为
x=cosθ
y=sinθ

（Ⅰ）将C1的方程化为直角坐标方程；
（Ⅱ）若点Q为C2上的动点，P为C2上的动点，求|PQ|的最小值．
在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为
x=2-t
y=
3
t
(t为参数），P．Q分别为直线l与x轴、y轴的交点，线段PQ的中点为M．
（I）求直线l的直角坐标方程；
（Ⅱ）以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M的极坐标和直线OM的极坐标方程．
如图，正△ABC的中心位于点G（0，1），A（0，2），动点P从A点出发沿△ABC的边界按逆时针方向运动，设旋转的角度∠AGP=x（0≤x≤2π），向量
OP
在
a
=（1，0）方向的射影为y（O为坐标原点），则y关于x的函数y=f（x）的图象是（　　）
A、
B、
C、
D、
如图，圆C：x2+（y-1）2=1与y轴的上交点为A，动点P从A点出发沿圆C按逆时针方向运动，设旋转的角度∠ACP=x（0≤x≤2π），向量
OP
在
a
=（1，0）方向的射影为y（O为坐标原点），则y关于x的函数y=f（x）的图象是（　　）
A、
B、
C、
D、

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