题目内容

选修4-4：参数方程选讲
已知平面直角坐标系xOy，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，P点的极坐标为(2
3
，
π
6
)，曲线C的极坐标方程为ρ2+2
3
ρsinθ=1．
（Ⅰ）写出点P的直角坐标及曲线C的普通方程；
（Ⅱ）若Q为C上的动点，求PQ中点M到直线l：
x=3+2t
y=-2+t
（t为参数）距离的最小值．
考点：参数方程化成普通方程,简单曲线的极坐标方程
专题：坐标系和参数方程
分析：（1）利用x=ρcosθ，y=ρsinθ即可得出；
（2）利用中点坐标公式、点到直线的距离公式及三角函数的单调性即可得出，
解答：解 （1）∵P点的极坐标为(2
3
，
π
6
)，
∴xP=2
3
cos
π
6
=2
3
×
3
2
=3，yP=2
3
sin
π
6
=2
3
×
1
2
=
3
．
∴点P的直角坐标(3，
3
)
把ρ2=x2+y2，y=ρsinθ代入ρ2+2
3
ρsinθ=1可得x2+y2+2
3
y=1，即x2+(y+
3
)2=4
∴曲线C的直角坐标方程为x2+(y+
3
)2=4．
（2）曲线C的参数方程为
x=2cosθ
y=-
3
+2sinθ
（θ为参数），直线l的普通方程为x-2y-7=0
设Q(2cosθ，-
3
+2sinθ)，则线段PQ的中点M(
3
2
+cosθ，sinθ)．
那么点M到直线l的距离d=
|
3
2
+cosθ-2sinθ-7|
12+22
=
|cosθ-2sinθ-
11
2
|
5
=
5
sin(θ-φ)+
11
2
5
.≥
-
5
+
11
2
5
=
11
5
10
-1，
∴点M到直线l的最小距离为
11
5
10
-1．
点评：本题考查了极坐标与直角坐标的互化、中点坐标公式、点到直线的距离公式、两角和差的正弦公式、三角函数的单调性等基础知识与基本技能方法，考查了计算能力，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l的参数方程为
x=2t
y=1+4t
（t为参数），曲线C的极坐标方程为ρ=2
2
sin（θ+
π
4
），则直线l被曲线C截得的弦长为
 
．
在直角坐标系xoy中，曲线C1的参数方程为
x=
3
cosα
y=sinα
（α为参数），以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐 标 系，曲 线C2的极坐标方程为ρsin（θ+
π
4
）=4
2
．
（1）求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程．
（2）设P为曲线C1上的动点，求点P到C2上点的距离的最小值，并求此时点P坐标．
在平面直角坐标系中，以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l上两点M，N的极坐标分别为（2，0），(
2
3
3
，
π
2
)，圆C的参数方程为
x=2+2cosθ
y=-
3
+2sinθ
（θ为参数）．①设P为线段MN的中点，求直线OP的平面直角坐标方程；②判断直线l与圆C的位置关系．
已知在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是
x=
2
2
t
y=
2
2
t+4
2
（t是参数），以原点O为极点，Ox为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为p=2cos（θ+
π
4
）．
（1）求圆心C的直角坐标；
（2）由直线l上的点向圆C引切线，求切线长的最小值．
已知曲线C1：
x=-4+cosα
y=3+sinα
，（α为参数），C2：
x=8cosθ
y=3sinθ
，（θ为参数）
（Ⅰ）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；
（Ⅱ）若C1上的点P对应的参数为α=
π
2
，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：
x=3+2t
y=-2+t
，（t为参数）距离的最小值及此时Q点坐标．
（选修4--4：坐标系与参数方程）在直角坐标系xoy中，曲线M的参数方程为
x=sinθ+cosθ
y=sin2θ
（θ为参数），若以该直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线N的极坐标方程为：ρsin（θ+
π
4
）=
2
2
t（其中t为常数）．
（1）求曲线M的普通方程；
（2）若曲线N与曲线M只有一个公共点，求t的取值范围．
已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的非负半轴重合．若曲线C1的方程为ρsin（θ-
π
6
）+2
3
=0，曲线C2的参数方程为
x=cosθ
y=sinθ

（Ⅰ）将C1的方程化为直角坐标方程；
（Ⅱ）若点Q为C2上的动点，P为C2上的动点，求|PQ|的最小值．
函数y=ax2+bx与函数y=xa+b（a≠0），在同一坐标系中的图象可能为（　　）
A、
B、
C、
D、

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