Question

10．对于定义域为D的函数y=f（x），如果存在区间[m，n]⊆D（m＜n），同时满足：①f（x）在[m，n]内是单调函数；②当定义域是[m，n]时，f（x）的值域也是[m，n]则称函数f（x）是区间[m，n]上的“保值函数”．
（1）求证：函数g（x）=x²-2x不是定义域[0，1]上的“保值函数”；
（2）已知f（x）=2+$\frac{1}{a}$-$\frac{1}{{a}^{2}x}$（a∈R，a≠0）是区间[m，n]上的“保值函数”，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据函数单调性的定义以及“保值函数”的定义判断即可；
（2）由f（x）的定义域和值域都是[m，n]，问题等价于方程a²x²-（2a²+a）x+1=0有两个不等的实数根，根据根的判别式判断即可；

解答 解：（1）证明：g（x）=x²-2x=（x-1）²-1，
x∈[0，1]时，g（x）∈[-1，0]，
根据函数g（x）不是定义域[0，1]上的“保值函数”．
（2））由f（x）的定义域和值域都是[m，n]得f（m）=m，f（n）=n，
因此m，n是方程2+$\frac{1}{a}$-$\frac{1}{{a}^{2}x}$=x的两个不相等的实数根，
等价于方程a²x²-（2a²+a）x+1=0有两个不等的实数根，
即△=（2a²+a）²-4a²＞0，
解得a＞$\frac{1}{2}$或a＜-$\frac{3}{2}$．

点评 本题主要考查了函数单调性的判断与证明，以及函数恒成立问题，同时考查了转化与划归的思想，属于综合题．