Question

20．如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC=AA₁=4，D为BB₁上一点，E为AC上一点，且B₁D=CE=1，BE=$\sqrt{7}$．
（Ⅰ）求证：BE⊥AC₁；
（Ⅱ）求证：BE∥平面AC₁D；
（Ⅲ）求四棱锥A-BCC₁B₁的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）在△ABE中，由已知可得AE²+BE²=AB²，即BE⊥AE，再由已知可得CC₁⊥底面ABC，得CC₁⊥BE，利用线面垂直的判定可得BE⊥平面ACC₁A₁，进一步得到BE⊥AC₁；
（Ⅱ）在平面ACC₁A₁中，过E作EF∥C₁C交AC₁于F，可证BD∥EF，且BD=EF，则四边形BDFE为平行四边形，从而得到BE∥DF，再由线面平行的判定可得BE∥平面AC₁D；
（Ⅲ）利用${V}_{A-BC{C}_{1}{B}_{1}}={V}_{ABC-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}-{V}_{A-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$求解．

解答 （Ⅰ）证明：在△ABE中，∵AB=4，AE=3，BE=$\sqrt{7}$，
∴AE²+BE²=AB²，则BE⊥AE，
∵CC₁⊥底面ABC，∴CC₁⊥BE，
又CC₁∩AE=E，∴BE⊥平面ACC₁A₁，
又AC₁?平面ACC₁A₁，
∴BE⊥AC₁；
（Ⅱ）证明：在平面ACC₁A₁中，过E作EF∥C₁C交AC₁于F，
∵$CE=\frac{1}{4}AC$，∴${C}_{1}F=\frac{1}{4}A{C}_{1}=\sqrt{2}$，
∴$AF=3\sqrt{2}$，则$EF=\sqrt{A{F}^{2}-A{E}^{2}}=\sqrt{18-9}=3$．
∴BD∥EF，且BD=EF，则四边形BDFE为平行四边形，
∴BE∥DF，
∵BE?平面AC₁D，DF?平面AC₁D，
∴BE∥平面AC₁D；
（Ⅲ）解：${V}_{ABC-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}=\frac{1}{2}×AC×BE×A{A}_{1}$=$\frac{1}{2}×4×\sqrt{7}×4=8\sqrt{7}$，
${V}_{A-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}=\frac{1}{3}×8\sqrt{7}=\frac{8\sqrt{7}}{3}$，
∴${V}_{A-BC{C}_{1}{B}_{1}}={V}_{ABC-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}-{V}_{A-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$=$8\sqrt{7}-\frac{8\sqrt{7}}{3}=\frac{16\sqrt{7}}{3}$．

点评 本题考查直线与平面平行的判定，考查了空间想象能力和思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．