Question

设函数f（x）=ax²+bx-lnx，a，b∈R．
（Ⅰ）若a=2，b=3，求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=3x，求a，b的值．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的单调性

专题：计算题,导数的概念及应用

分析：（Ⅰ）求导数，利用导数的正负，可求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）利用曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=3x，可得f（1）=a+b=3，f′（1）=2a+b-1=3，即可求出a，b的值．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=2x²+3x-lnx，（x＞0）
∴f′（x）=4x+3-

1

x

=

(x+1)(4x-1)

x

由f′（x）＞0可得函数的单调递增区间为（

1

4

，+∞）；由f′（x）＜0可得函数的单调递减区间为（0，

1

4

）；
（Ⅱ）f′（x）=2ax+b-

1

x

，
∵曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=3x，
∴f（1）=a+b=3，f′（1）=2a+b-1=3，
∴a=1，b=2．

点评：本小题主要考查直函数的单调性、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于中档题．