Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上有两点A、B，直线l：y=x+k上有两点C、D，四边形ABCD是正方形，此正方形外接圆的方程为x²+y²-2y-8=0，求椭圆C及直线l的方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：直线AB的方程设为y=x+m，圆心O（0，1）到直线AB的距离

|1-0+m|

2

=

3 2

2

，解得m=4或m=-2．由此利用分类讨论思想能求出椭圆C及直线l的方程．

解答： 解：∵ABCD为正方形，CD在直线l：y=x+k上，
∴直线AB的方程设为y=x+m，
圆x²+y²-2y-8=0化为标准方程为x²+（y-1）²=9，
圆心O（0，1），半径r=3，
∵ABCE是圆O的内接正方形
∴圆心O（0，1）到直线AB的距离为

3 2

2

，
由点到直线的距离公式得

|1-0+m|

2

=

3 2

2

，
解得m=4或m=-2．
①当m=4时，直线AB与圆O联立

y=x+4 x2+(y-1)2=9

，
解得交点A（-3，1），B（4，0）
代入椭圆椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1，解得a=

12

15

，b=4，
∵a＜b，∴不合题意，舍去．
②当m=-2时，直线AB与圆O联立

y=x-2 x2+(y-1)2=9

，
解得交点A（0，-2），B（3，1）
代入椭圆椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1，解得a=2

3

，b=2
∴椭圆C：

x2

12

+

y2

4

=1，
∵直线l和直线AB平行且到O的距离均为

3 2

2

，且不重合，
∴m=-2，k=4
∴直线l：y=x+4．

点评：本题考查椭圆方程及直线方程的求法，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式和分类讨论思想的合理运用．