Question

5．在边长为4cm的正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，M、N分别为AB、CF的中点，现沿AE、AF、EF折叠，使B、C、D三点重合，重合后的点记为B，构成一个三棱锥
（1）求点B到面AEF的距离
（2）求几何体B-AEF的表面积；
（3）求直线BE与面MNE所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）根据V_B-AEF=V_A-BEF列方程解出棱锥的高；
（2）棱锥的表面积为正方形的面积；
（3）建立空间坐标系，求出平面MNE的法向量$\overrightarrow{n}$，利用$\overrightarrow{n}$与$\overrightarrow{BE}$的夹角求出线面角．

解答 解：（1）∵AB⊥BE，AB⊥BF，BE，BF?平面BEF，BE∩BF=B，
∴AB⊥平面BEF，
∴V_A-BEF=$\frac{1}{3}{S}_{△BEF}•AB$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×2×4$=$\frac{8}{3}$．
设点B到面AEF的距离为h，
则V_B-AEF=$\frac{1}{3}{S}_{△AEF}•h$．
∵S_△AEF=S_{正方形ABCD}-S_△ABE-S_△ADF-S_△CEF=16-4-4-2=6．
V_A-BEF=V_B-AEF，
∴$\frac{1}{3}×6h=\frac{8}{3}$，
解得h=$\frac{4}{3}$cm．
即点B到面AEF的距离为$\frac{4}{3}$cm．
（2）∵几何体B-AEF的展开图是正方形ABCD
∴几何体B-AEF的表面积S=S_{正方形ABCD}=16cm²．
（3）由（1）可知AB⊥平面BEF，同理可证BE⊥平面ABF，
∴BA，BE，BF两两垂直．
以B为坐标原点，建立如图所示的空间坐标系，
则B（0，0，0），E（2，0，0），M（0，0，2），N（0，1，0），
∴$\overrightarrow{BE}$=（2，0，0），$\overrightarrow{ME}$=（2，0，-2），$\overrightarrow{MN}$=（0，1，-2）．
设平面MNE的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），则$\overrightarrow{n}⊥\overrightarrow{ME}$，$\overrightarrow{n}⊥\overrightarrow{MN}$．
∴$\left\{\begin{array}{l}{2x-2z=0}\\{y-2z=0}\end{array}\right.$，令z=1得$\overrightarrow{n}$=（1，2，1）．
∴|$\overrightarrow{n}$|=$\sqrt{6}$，|$\overrightarrow{BE}$|=2，$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BE}$=2，
∴cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{BE}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BE}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{BE}|}$=$\frac{\sqrt{6}}{6}$．
∴直线BE与面MNE所成角的余弦值为sin＜$\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{BE}$＞=$\sqrt{1-（\frac{\sqrt{6}}{6}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{30}}{6}$．

点评 本题考查了线面垂直的判定，棱锥的体积计算，空间角的计算，当空间角不方便作出时多采用向量法求解．