题目内容

10．为了研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门对100名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在55名男性驾驶员中，平均车速超过100km/h的有40人，不超过100km/h的有15人．在45名女性驾驶员中，平均车速超过100km/h的有20人，不超过100km/h的有25人．
（Ⅰ）完成下面的列联表，并判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h的人与性别有关．
平均车速超过
100km/h人数		平均车速不超过
100km/h人数		合计
男性驾驶员人数401555
女性驾驶员人数202545
合计6040100
（Ⅱ）以上述数据样本来估计总体，现从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取3辆，记这3辆车中驾驶员为男性且车速超过100km/h的车辆数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列和数学期望．
参考公式与数据：Χ2=$\frac{{n{{（ad-bc）}^2}}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$，其中n=a+b+c+d
P（Χ2≥k0）0.1500.1000.0500.0250.0100.0050.001
k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

分析 （Ⅰ）完成下面的列联表，并判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h的人与性别有关．求出Χ2，即可判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h的人与性别有关．
（Ⅱ）根据样本估计总体的思想，从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取1辆，驾驶员为男性且车速超过100km/h的车辆的概率，X可取值是0，1，2，3，$X～B（3，\frac{2}{5}）$，求出概率得到分布列，然后求解期望即可．

解答 解：
（Ⅰ）

平均车速超过100km/h人数平均车速不超过100km/h人数合计
男性驾驶员人数401555
女性驾驶员人数202545
合计6040100
因为${Χ^2}=\frac{{100×{{（40×25-15×20）}^2}}}{60×40×55×45}≈8.249＞7.879$，所以有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h与性别有关．…（6分）
（Ⅱ）根据样本估计总体的思想，从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取1辆，驾驶员为男性且车速超过100km/h的车辆的概率为$\frac{40}{100}=\frac{2}{5}$．X可取值是0，1，2，3，$X～B（3，\frac{2}{5}）$，有：$P（X=0）=C_3^0{（\frac{2}{5}）^0}{（\frac{3}{5}）^3}=\frac{27}{125}$，$P（X=1）=C_3^1{（\frac{2}{5}）^1}{（\frac{3}{5}）^2}=\frac{54}{125}$，$P（X=2）=C_3^2{（\frac{2}{5}）^2}{（\frac{3}{5}）^1}=\frac{36}{125}$，$P（X=3）=C_3^3{（\frac{2}{5}）^3}{（\frac{3}{3}）^0}=\frac{8}{125}$，
分布列为
X0123
P$\frac{27}{125}$$\frac{54}{125}$$\frac{36}{125}$$\frac{8}{125}$
$E（X）=0×\frac{27}{125}+1×\frac{54}{125}+2×\frac{36}{125}+3×\frac{8}{125}=\frac{6}{5}$．…（12分）

点评 本题考查离散性随机变量的分布列，期望的求法，独立检验的应用，考查分析问题解决问题的能力．

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1．复数z=$\frac{2i}{1-i}$（其中i是虚数单位）的共轭复数为$\overline{z}$，则|$\overline{z}$|的值为（　　）
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A．-1B．1C．2D．-2
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（1）求点B到面AEF的距离
（2）求几何体B-AEF的表面积；
（3）求直线BE与面MNE所成角的余弦值．
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  男 女 总计
 爱好 40 20 60
 不爱好 20 30 50
 总计 60 50 110
由${K^2}=\frac{{n{{（ad-bc）}^2}}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$算得：${K^2}=\frac{{110×{{（40×30-20×20）}^2}}}{60×50×60×50}≈7.8$
 P（K2≥k） 0.050 0.010 0.001
 k 3.841 6.635 10.828
参照附表，得到的正确结论是（　　）
A．在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”
B．在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”
C．有99.9%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
D．有99.9%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”

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