Question

【题目】已知为常数，函数

（1）过坐标原点作曲线的切线，设切点为，求；

（2）令，若函数在区间上是单调减函数，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）求出，求出切线的点斜式方程，原点坐标代入，得到关于的方程，求解即可；（2）设，由在是减函数，，通过研究的正负可判断的单调性，进而可得函数的单调性，可求参数的取值范围.

（1），

所以切线的斜率为，

切线方程为。

将代入得，

即，显然是方程的解，

又在上是增函数，

方程只有唯一解，故；

（2）

设，

在上是减函数，

，

当时，即时，，

在是增函数，又，

在恒成立，即在恒成立，

在上单调递减函数，所以，满足题意，

当时，即，，

函数有唯一的零点，设为，则在上单调递增，

在单调递减，又，

又在内唯一零点，

当时，，

当时，，

从而在单调递减，在单调递增，

不合题意，

所以的取值范围是.