题目内容

【题目】已知为圆上的动点，点在圆的半径上运动，点在上，且满足，其中.

（1）求点的轨迹方程；

（2）设不过原点的直线与点的轨迹交于两点，且点关于恒过定点的直线对称.求面积的取值范围.

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）根据椭圆的定义判断出点的轨迹是以点为焦点，求得的值，进而求得点的轨迹方程.

（2）设出直线的方程为、直线的方程为，联立直线的方程和点的轨迹方程，消去化简并令其判别式大于零.将线段中点代入直线的方程，求得的关系式，并由此求得的取值范围.求得弦长的表达式，求得点到直线的距离，由此求得三角形面积的表达式，利用二次函数的性质求得三角形面积的取值范围.

（1）由题意是线段的垂直平分线，

点的轨迹是以点为焦点，焦距为2，长轴长为的椭圆，

，故点的轨迹方程是

（2）设直线的方程为，由题意知，则直线的方程为.

联立消去，得

①

将线段的中点坐标代入，得②

由①②得或，

令，则.转化为，也即.转化为.则，且到直线的距离为.

设的面积为，

当且仅当时，等号成立，此时满足

故面积的取值范围为.

练习册系列答案
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国家

金牌

银牌

铜牌

奖牌总数

中国

133

64

42

239

俄罗斯

51

53

57

161

巴西

21

31

36

88

法国

13

20

24

57

波兰

11

15

34

60

德国

10

15

20

45

（1）请问这9名获奖代表中获金牌、银牌、铜牌的人数分别是多少人？

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