题目内容
【题目】已知函数
(1)求函数的单调区间;
(2)设在
上存在极大值M,证明:
.
【答案】(1)在单调递增,
单调递减;(2)详见解析.
【解析】
(1)求得,利用
和
即可求得函数
的单调性区间;
(2)求得函数的解析式,求
,对
的情况进行分类讨论得到函数有极大值的情形,再结合极大值点的定义进行替换、即可求解.
(1)由题意,函数,
则,
当时,令
,所以函数
单调递增;
当时,令
,即
,解得
或
,
令,即
,解得
,
所以函数在区间
上单调递增,在区间
中单调递减,
当时,令
,即
,解得
或
,
令,即
,解得
,
所以函数 在
单调递增,在
单调递减.
(2)由函数,则
,
令,可得
令,解得
,
当时.
,函数
在
单调递增,此时
,
所以,函数
在
上单调递增,此时不存在极大值,
当时,令
解得
,令
,解得
,
所以在
上单调递减,在
上单调递增,
因为在
上存在极大值,所以
,解得
,
因为,
易证明,存在
时,
,
存在使得
,
当在区间
上单调递增,在区间
单调递减,
所以当时,函数
取得极大值
,即
,
,
由,
所以
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