Question

（理做）已知向量

a

=（cos

3x

4

，-sin

3x

4

），

b

=（cos

5x

4

，sin

5x

4

），x∈[0，

π

2

]
（1）当x=

π

4

时，求(

a

•

b

)2015+2015|

a

+

b

|的值；
（2）若函数f（x）=

a

•

b

-

1

2

λ|

a

+

b

|的最小值为-

3

2

，求实数λ的值．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用

分析：（1）先根据数量积的坐标运算，两角和的余弦公式，二倍角的余弦公式以及由坐标求向量长度可求得

a

•

b

=cos2x，|

a

+

b

|=2cosx，带入x=

π

4

即可求得原式；
（2）求出f（x）=2cos2x-λcosx-1=2(cosx-

λ

4

)-1-

λ2

8

，由cosx∈[0，1]，讨论

λ

4

的取值，根据二次函数的最小值即可求出λ值．

解答： 解：（1）由已知条件得：

a

•

b

=cos2x，|

a

+

b

|=

2+2cos2x

=2cosx；
∴x=

π

4

时，

a

•

b

=0，|

a

+

b

|=

2

；
∴原式=2015

2

；
（2）f（x）=cos2x-λcosx=2cos²x-λcosx-1=2(cosx-

λ

4

)2-1-

λ2

8

；
∵x∈[0，

π

2

]；
∴0≤cosx≤1；
①若0≤

λ

4

≤1，即0≤λ≤4，cosx=

λ

4

时，f（x）取最小值-1-

λ2

8

=-

3

2

；
解得λ=2，或-2（舍去）；
②若

λ

4

＞1，即λ＞4，cosx=1时，f（x）取最小值1-λ=-

3

2

；
∴λ=

5

2

＜4，∴这种情况不存在；
③若

λ

4

＜0，即λ＜0，cosx=0时，f（x）取最小值-1≠-

3

2

，∴这种情况不存在；
综上得λ=2．

点评：考查向量数量积的坐标运算，根据向量坐标求向量长度，两角和的余弦公式，二倍角的余弦公式，以及二次函数的最小值的求法．