Question

在四面体ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，△ABD为等边三角形，CD⊥BD，∠DBC=30°
（1）求二面角A-DC-B的大小；
（2）求二面角A-BC-D的平面角的正切值；
（3）求二面角D-AB-C的平面角的正切值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法

专题：空间角

分析：（1）要求二面角A-DC-B的大小，可找出该二面角的平面角，由面面垂直的性质定理即可得到∠ADB为二面角的平面角，然后解直角三角形得答案；
（2）由平面ABD⊥平面BCD，可在平面ABD内过A作BD的垂线交BD于E点，过E作BC的垂线交BC于F点，由线面垂直的判断得到AF⊥BC，从而得到∠AFE是二面角A-BC-D的平面角，则其正切值可求；
（3）过点D作AB的垂线交AB于G点，连接GC，由△ACD≌△BCD可得AC=BC，进一步说明∠CGD是二面角D-AB-C的平面角，然后通过求解直角三角形得答案．

解答： 解：如图，
（1）∵平面ABD⊥平面BCD，DC在平面BCD上，而且CD⊥BD，
∴CD⊥平面ABD，
∴CD⊥AD，
已知CD⊥BD，
∴∠ADB是二面角A-DC-B的平面角，
∵△ABD为等边三角形，
∴二面角A-DC-B=∠ADB=60°；
（2）过点A作BD的垂线交BD于E点，则AE⊥面BCD，AE⊥BC，
过E作BC的垂线交BC于F点，则BC⊥面AEF，
∴AF⊥BC，
∴∠AFE是二面角A-BC-D的平面角，
∴tan∠AFE=

AE

EF

=2

3

；
（3）过点D作AB的垂线交AB于G点，连接GC，
∵CD⊥平面ABD，△ACD和△BCD均为直角三角形，且BD=AD，CD为公共边，
∴△ACD≌△BCD，
∴AC=BC，
∵ABD为等边三角形，DG⊥AB，
∴G为AB中点，
∴CG⊥AB，
∴∠CGD是二面角D-AB-C的平面角，
∵CD⊥平面ABD，
∴CD⊥DG，
∵∠DBC=30°，设CD=

3

，
则BD=3，可得DG=

2

3

3

，
∴tan∠CGD=

CD

DG

=

2

3

．

点评：本题考查了二面角的平面角的求法，考查了学生的空间想象能力和思维能力，是中档题．