Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

6

3

，过椭圆C的右焦点F且斜率为1的直线l交椭圆于A，B两点，N为弦AB的中点，O为坐标原点．
（1）求直线ON的斜率k_ON；
（2）对于椭圆上的任意一点M，试证：总存在θ，使得等式

OM

=cosθ•

OA

+sinθ•

OB

成立．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：向量与圆锥曲线,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）根据离心率e以及c²与a²、b²的关系，得出椭圆C的方程，写出直线AB的方程并与椭圆方程联立，消去y，再由根与系数的关系得出弦AB的中点N的坐标，从而得出斜率k_ON；
（2）

OA

与

OB

是两个不共线的向量，得出

OM

=λ

OA

+μ

OB

，结合椭圆的方程，利用坐标表示得出λ²+μ²=1，进一步得出λ=cosθ，μ=sinθ，证出结论．

解答： 解：（1）∵离心率e=

c

a

=

6

3

，
∴c=

6

3

a，
又∵c²=a²-b²=

6

9

a²，
∴a=

3

b，
∴椭圆C的方程可化为x²+3y²=3b²…①；
又焦点F的坐标为（

2

b，0），
∴AB所在的直线方程为y=x-

2

b…②；
将②代入①并整理，得4x²-6

2

bx+3b²=0…③；
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），弦AB的中点N（x₀，y₀），
∴x₁、x₂是方程③的两个不相等的实数根，
由根与系数的关系得x₁+x₂=

3 2 b

2

，x₁x₂=

3b2

4

…④；
∴x₀=

x1+x2

2

=

3 2 b

4

，y₀=x₀-

2

b=-

2 b

4

，
∴k_ON=

y0

x0

=-

1

3

；…（6分）
（2）显然

OA

与

OB

是同一平面内的两个不共线的向量，
由平面向量的基本定理知，对于这一平面内的向量

OM

，
有且只有一对实数λ、μ使得等式

OM

=λ

OA

+μ

OB

成立；
设M（x，y），由（1）中各点的坐标可得（x，y）=λ（x₁，y₁）+μ（x₂，y₂），
∴x=λx₁+μx₂，y=λy₁+μy₂，
又∵点M（x，y）在椭圆C上，则代入①式，得
(λx1+μx2)2+3(λy1+μy2)2=3b²，整理可得
λ²（x12+3y12）+μ²（x22+3y22）+2λμ（x₁x₂+3y₁y₂）=3b²…⑤；
由②和④得x₁x₂+3y₁y₂=x₁x₂+3（x₁-

2

b）（x₂-

2

b）
=4x₁x₂-3

2

b（x₁+x₂）+6b²
=3b²-9b²+6b²=0；
又∵A，B两点在椭圆上，∴x12+3y12=3b²，x22+3y22=3b²，
代入⑤并化简，得λ²+μ²=1；…（12分）
由λ²+μ²=1可得|λ|≤1，|μ|≤1，又λ是唯一确定的实数，并且|λ|≤1，
∴存在角θ，使得λ=cosθ成立，则有μ²=1-λ²=sin²θ，∴μ=±sinθ；
若μ=sinθ，则存在θ（θ∈R）使得等式

OM

=cosθ•

OA

+sinθ•

OB

成立；
若μ=-sinθ，由于-sinθ=sin（-θ），cosθ=cos（-θ）于是用θ代换-θ，
同样可证得存在θ（θ∈R）使得等式

OM

=cosθ•

OA

+sinθ•

OA

成立；
综上所述，对于椭圆上的任意一点M，总存在θ（θ∈R）使得等式

OM

=cosθ•

OA

+sinθ•

OB

成立．…（13分）

点评：本题考查了向量与圆锥曲线的应用问题，也考查了直线与椭圆的综合应用问题，是难题．