Question

3．已知离心率为$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$的双曲线C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，若线段OF的垂直平分线与双曲线一条渐近线的交点到另一条渐近线的距离为λc（c为半焦距，λ＞0），则实数λ的值是（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{1}{3}$
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 求出F（c，0），不妨设线段OF的垂直平分线x=$\frac{c}{2}$与渐近线y=$\frac{b}{a}x$的交点为（$\frac{c}{2}，\frac{bc}{2a}$），它到另一条渐近线的距离为$\frac{\frac{bc}{2}+\frac{bc}{2}}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=b=λc．然后求解λ．

解答 解：由题意，得F（c，0），
不妨设线段OF的垂直平分线x=$\frac{c}{2}$与渐近线y=$\frac{b}{a}x$的交点为（$\frac{c}{2}，\frac{bc}{2a}$），
因此它到另一条渐近线y=-$\frac{b}{a}x$，即bx+ay=0的距离为$\frac{\frac{bc}{2}+\frac{bc}{2}}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=b=λc．
又由$\frac{c}{a}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$与c²=a²+b²可得b=$\frac{1}{2}c$，
所以$λ=\frac{1}{2}$．
故选：A．

点评 本题考查双曲线的简单性质的应用，直线与双曲线的位置关系，考查计算能力．