Question

8．已知直线l：x-y=1与圆M：x²+y²-2x+2y=0相交于A，C两点，点B，D分别在圆M上运动，且位于直线AC两侧，则四边形ABCD面积的最大值为2$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 先求出弦长|AB|的长度，然后结合圆与直线的位置关系图象，然后将ABCD的面积看成两个三角形△ABC和△ACD的面积之和，分析可得当BD为AC的垂直平分线时，四边形ABCD的面积最大．

解答 解：把圆Γ：x²+y²-2x+2y-1=0化为标准方程：（x-1）²+（y+1）²=2，圆心（1，-1），半径r=$\sqrt{2}$．
直线与圆相交，由点到直线的距离公式的弦心距d=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
由勾股定理的弦长|AB|=2$\sqrt{{r}^{2}-{d}^{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$×$2=\sqrt{6}$，
又B，D两点在圆上，并且位于直线l的两侧，
四边形ABCD的面积可以看成是两个三角形△ABC和△ACD的面积之和，
如图所示，当B，D为如图所示位置，即BD为弦AC的垂直平分线时（即为直径时），
两三角形的面积之和最大，即四边形ABCD的面积最大，
最大面积为：S=$\frac{1}{2}$×|AB|×|CE|+$\frac{1}{2}$×|AB|×|DE|=$\frac{1}{2}$|AB|•|CD|=$\frac{1}{2}×\sqrt{6}×2\sqrt{2}$=2$\sqrt{3}$，
故答案为：2$\sqrt{3}$．

点评 本题涉及到圆与位置关系的题目，可采用数形结合思想，实现代数和几何间的转化，然后分析题目具体问题，求解即可，属于中档题