Question

12．不等式组$\left\{\begin{array}{l}x+a+1＞0\\ ax＞0\end{array}\right.$（a≠0）的解集为∅，则实数a的取值范围是{a|a=0，或a≤-1}．

Answer 1

分析 分a=0、a＞0、a＜0三种情况，分别检验是否满足条件，从而得出结论．

解答 解：∵不等式组$\left\{\begin{array}{l}x+a+1＞0\\ ax＞0\end{array}\right.$（a≠0）的解集为∅，
①当a=0时，由于ax＞0无解，不等式组$\left\{\begin{array}{l}x+a+1＞0\\ ax＞0\end{array}\right.$（a≠0）的解集为∅，满足条件．
②当a＞0时，由ax＞0求得x＞0；由x+a+1＞0，求得x＞-a-1，故不等式组$\left\{\begin{array}{l}x+a+1＞0\\ ax＞0\end{array}\right.$（a≠0）的解集为{ x|x＞0}≠∅，故不满足条件．
③当a＜0时，由ax＞0求得x＜0；由x+a+1＞0，求得x＞-a-1，
若-a-1≥0，即a≤-1时，不等式组$\left\{\begin{array}{l}x+a+1＞0\\ ax＞0\end{array}\right.$（a≠0）的解集为∅，满足条件；
若-a-1＜0，即0＞a＞-1时，不等式组$\left\{\begin{array}{l}x+a+1＞0\\ ax＞0\end{array}\right.$（a≠0）的解集为{x|-a-1＜x＜0}≠∅，不满足条件，
综上可得实数a的取值范围是{a|a=0，或a≤-1}，
故答案为：{a|a=0，或a≤-1}．

点评 本题主要考查不等式组的解法，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．