Question

5．已知f（x）=sinx-cosx-ax，其中a∈R．
（1）若f（x）在x=0处取得极值，求实数a的值．
（2）若f（x）在[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]上单调递增，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，通过导函数为0，求解a即可．
（2）转化条件为导函数的值非负，推出a 满足的表达式，然后利用三角函数的最值求解即可．

解答 解：（1）f'（x）=cosx+sinx-a，（2分）
由f'（0）=0可得1-a=0，a=1；（4分）
经检验，a=1满足题意．（5分）
（2）∵函数f（x）在$[-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}]$单调递增．∴f'（x）=cosx+sinx-a≥0在$[-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}]$上恒成立．（7分）
即a≤cosx+sinx在$[-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}]$上恒成立．即a≤（cosx+sinx）_min
∵$y=cosx+sinx=\sqrt{2}sin（x+\frac{π}{4}），x∈[-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}]$，y_min=-1（10分）∴a≤-1．（11分）
检验，a=-1时，f'（x）=cosx+sinx+1=0，$x∈[-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}]$，仅在$x=-\frac{π}{2}$处取得．所以满足题意．
∴a≤-1．（12分）

点评 本题考查函数的导数的应用，恒成立问题以及转化思想的应用，考查计算能力．