Question

已知等差数列{a_n}，若存在常数t，使得a_2n=ta_n对一切n∈N^*成立，则t的集合是（　　）

• A、{1}
• B、{1，2}
• C、{2}
• D、{

  1

  2

  ，2}

Answer 1

考点：等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：原问题可转化成（2d-td）n+（1-t）（a₁-d）=0 对一切n∈N^*均成立，进而可得答案．

解答：解：∵{a_n}是等差数列，a_2n=ta_n  
∴由等差数列通项公式可得a₁+（2n-1）d=t[a₁+（n-1）d]，
化简并整理得（2d-td）n+（1-t）（a₁-d）=0 对一切n∈N^*均成立．
∴

2d-td=0     ① (1-t)(a1-d)=0     ②

由①得t=2，结合②可得a₁=d，数列的通项公式为a_n=nd，符合题意．
由②得t=1，结合①d=0，数列的通项公式a_n=a₁数列为常数列，符合题意．
∴t可能取的值是 1，2
故选B

点评：本题以数列背景考查等式恒成立的条件，划归为（2d-td）n+（1-t）（a₁-d）=0 对一切n∈N^*均成立是关键，属中档题．