Question

（本小题满分l2分） 已知函数f（x）=ax3+bx2－3x在x=±1处取得极值.

（1）求函数f（x）的解析式；

（2）求证：对于区间[－1，1]上任意两个自变量的值x1，x2，都有|f（x1）－f（x2）|≤4；

（3）若过点A（1，m）（m≠－2）可作曲线y=f（x）的三条切线，求实数m的取值范围.

 

Answer 1

（1）；（2）略；（3）.

【解析】

试题分析：（1）利用导数与极值的关系可列出关于的二元一次方程组，从而可求出函数的解析式.由题意可知，依题意可知，从而可列方程组，解得，所以函数的解析式为；

（2）利用函数单调性求最值的方法，先判断函数在区间上的单调性，并求出函数在区间上的最大值与最小值之差，从而命题可得证明.由（1）可知，令，解得，即函数在区间上为单调递减，所以，，因为对于区间上的任意两个自变量的值，

都有，所以命题得证；

（3）由（1）可知， 由曲线方程可知点不在曲线上.

设切点为，则

因，故切线的斜率为，整理得，

因为过点可作曲线的三条切线，所以关于的方程有三个实根，

设，则，由，得或，

所以在，上单调递增，在上单调递减，因此函数的极值点为0、1，

所以关于的方程有三个实根的充要条件是，解得.

故所求实数的取值范围为.

试题解析：（1）f′（x）=3ax2+2bx－3，依题意，f′（1）=f′（－1）=0，

即 解得a=1，b=0.∴f（x）=x3－3x.-------3分

（2）∵f（x）=x3－3x,∴f′（x）= 3x2－3=3（x+1）（x－1），

当－1<x<1时，f′（x）<0，故f（x）在区间[－1， 1]上为减函数，fmax（x）=f（－1）=2，fmin（x）=f（1）=－2

∵对于区间[－1，1]上任意两个自变量的值x1，x2，

都有|f（x1）－f（x2）|≤|fmax（x） －fmin（x）|，所以|f（x1）－f（x2）|≤2－（－2）=4 -----7分

（3）f′（x）=3x2－3=3（x+1）（x－1），

∵曲线方程为y=x3－3x，∴点A（1，m）不在曲线上.

设切点为M（x0，y0），则点M的坐标满足因，

故切线的斜率为，整理得，

因为过点可作曲线的三条切线，所以关于的方程有三个实根，

设，则，由，得或，

所以在，上单调递增，在上单调递减，因此函数的极值点为0、1，

所以关于的方程有三个实根的充要条件是，解得.

故所求实数的取值范围为. 12分

考点：1.导函数的应用；2.利用函数最值证明不等式.