Question

已知f（x）=xlnx，g（x）=-x²+ax-1，对一切x∈（0，+∞），3f（x）≥g（x）恒成立，则实数a的取值范围是（　　）

• A、（-∞，

  13

  +3ln

  13 -3

  2

  ）
• B、（-∞，4]
• C、（-∞，6]
• D、[5，+∞）

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：对一切x∈（0，+∞），3f（x）≥g（x）恒成立，即-x²+ax-1-3xlnx≤0，x∈（0，+∞）．
?a≤x+

1

x

+3lnx恒成立，x∈（0，+∞）．?a≤(x+

1

x

+3lnx)min，x∈（0，+∞）．
利用导数求出其最小值即可．

解答： 解：对一切x∈（0，+∞），3f（x）≥g（x）恒成立，即-x²+ax-1-3xlnx≤0，x∈（0，+∞）．
?a≤x+

1

x

+3lnx恒成立，x∈（0，+∞）．?a≤(x+

1

x

+3lnx)min，x∈（0，+∞）．
令u（x）=x+

1

x

+3lnx，x∈（0，+∞）．
则u′（x）=1-

1

x2

+

3

x

=

x2+3x-1

x2

，
由u′（x）=0得，x=

13 -3

2

，
故可知当x=

13 -3

2

时函数u（x）有最小值为

13

+3ln

13 -3

2

．
∴实数a的取值范围是（-∞，

13

+3ln

13 -3

2

）．

点评：熟练掌握利用导数研究函数的单调性极值与最值、分离参数法、等价转化等是解题的关键．好像不对呀，做不出了