Question

已知函数f（x）=lg

kx-1

x-1

（k∈R）．
（1）若y=f（x）是奇函数，求k的值，并求该函数的定义域；
（2）若函数y=f（x）在[10，+∞）上是单增函数，求k的取值范围．

Answer 1

考点：复合函数的单调性

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由f（-x）=-f（x）求得k=-1，再由函数的真数大于0求解函数的定义域；
（2）由f（x）在[10，+∞）上是增函数，得

10k-1

10-1

＞0，求得k的范围，再由对任意的x₁，x₂，当10≤x₁＜x₂时，恒有f（x₁）＜f（x₂）求解对数不等式得k的范围，最后取交集得答案．

解答： 解：（1）∵y=f（x）是奇函数，
∴f（-x）=-f（x），即lg

-kx-1

-x-1

=-lg

kx-1

x-1

，
∴

-kx-1

-x-1

=

x-1

kx-1

，即1-k²x²=1-x²，
则k²=1，k=±1．
而k=1不合题意舍去，
∴k=-1．
由

-x-1

x-1

＞0，得-1＜x＜1．
∴函数f（x）的定义域为（-1，1）；
（2）∵f（x）在[10，+∞）上是增函数，
∴

10k-1

10-1

＞0，
∴k＞

1

10

．
又f（x）=lg

kx-1

x-1

=lg（k+

k-1

x-1

），
故对任意的x₁，x₂，当10≤x₁＜x₂时，恒有f（x₁）＜f（x₂），
即lg（k+

k-1

x1-1

）＜lg（k+

k-1

x2-1

），
∴

k-1

x1-1

＜

k-1

x2-1

，
∴（k-1）•（

1

x1-1

-

1

x2-1

）＜0，
又∵

1

x1-1

＞

1

x2-1

，
∴k-1＜0，
∴k＜1．
综上可知k∈（

1

10

，1）．

点评：本题考查了函数奇偶性的性质，考查了复合函数的单调性，训练了对数不等式的解法，是中档题．