Question

8．已知函数f（x）=ax+xlnx的图象在点A（e，f（e））处的切线斜率为3
（1）求a的值；
（2）求f（x）的单调区间；
（3）若不等式f（x）-kx+k＞0对任意x∈（1，+∞）恒成立，求k的最大整数值．

Answer 1

分析 （1）由已知条件推导出f'（x）=a+lnx+1，a+lne+1=3，由此能求出a=1．
（2）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
（3）由f（x）=x+xlnx，得k＜$\frac{x+xlnx}{x-1}$对任意x∈（1，+∞）恒成立，由此利用构造法结合导数性质能求出整数k的最大值．

解答 解：（1）因为f（x）=ax+xlnx，所以f'（x）=a+lnx+1，
因为函数f（x）=ax+xlnx的图象在点A处的切线斜率为3，
所以，f'（e）=3，即a+lne+1=3，
所以，a=1；
（2）由（1）得：f（x）=x+xlnx，函数的定义域是（0，+∞），f′（x）=lnx+2，
令f′（x）＞0，解得：x＞e^-2，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜e^-2，
故f（x）在（0，e^-2）递减，在（e^-2，+∞）递增；
（3）由（1）知，f（x）=x+xlnx，
所以，k＜$\frac{f（x）}{x-1}$对任意x＞1恒成立，
即k＜$\frac{x+xlnx}{x-1}$对任意x＞1恒成立，
令g（x）=$\frac{x+xlnx}{x-1}$，则g′（x）=$\frac{x-lnx-2}{{（x-1）}^{2}}$，
令h（x）=x-lnx-2（x＞1），则h′（x）=$\frac{x-1}{x}$＞0，
所以函数h（x）在（1，+∞）上单调递增，
而h（1）=-1＜0，h（3）=1-ln3＜0，h（4）=2（1-ln2）＞0，
故存在x₀∈（3，4）使得h（x₀）=0，
所以g（x）在（1，x₀）递减，在（x₀，+∞）递增，
而g（3）=$\frac{3（1+ln3）}{2}$＞3，g（4）=$\frac{4（1+2ln2）}{3}$＜4，
故整数k的最大值是3．

点评 本题考查实数值的求法，考查整数的最大值的求法，解题时要认真审题，注意构造法和导数性质的合理运用．