Question

18．已知△ABC的面积为1，点P满足$3\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}=4\overrightarrow{AP}$，则△PBC的面积等于$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 取BC的中点D，根据向量共线定理可得A，P，D共，继而得到_△PBC=$\frac{1}{2}$S_△ABC．

解答 解：取BC的中点D，
∴$\overrightarrow{AD}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{AB}$）
∵4$\overrightarrow{AP}$=3$\overrightarrow{AB}$+2$\overrightarrow{BC}$+$\overrightarrow{CA}$=（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BC}$+$\overrightarrow{CA}$）+（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BC}$）+$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{AB}$，
∴$\overrightarrow{AP}$=$\frac{1}{4}$（$\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{AB}$），
∴$\overrightarrow{AP}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AD}$，
∴A，P，D共线，
∴$\overrightarrow{PD}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AD}$，
∴S_△PBC=$\frac{1}{2}$S_△ABC=$\frac{1}{2}$，
故答案为：$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查向量的线性运算，考查三角形面积的计算，属于基础题