Question

18．已知正实数a，b满足：a+b=1，则$\frac{2a}{{{a^2}+b}}+\frac{b}{{a+{b^2}}}$的最大值是$\frac{{2\sqrt{3}+3}}{3}$．

Answer 1

分析 求出b=1-a，代入得到$\frac{2a}{{{a^2}+b}}+\frac{b}{{a+{b^2}}}$=$\frac{a+1}{{a}^{2}-a+1}$，求出$\frac{{a}^{2}-a+1}{a+1}$的最小值，从而得到答案．

解答 解：∵正实数a，b满足：a+b=1，
∴b=1-a，
∴$\frac{2a}{{{a^2}+b}}+\frac{b}{{a+{b^2}}}$
=$\frac{2a}{{a}^{2}-a+1}$+$\frac{1-a}{a{+（1-a）}^{2}}$
=$\frac{2a}{{a}^{2}-a+1}$+$\frac{1-a}{{a}^{2}-a+1}$
=$\frac{a+1}{{a}^{2}-a+1}$，
而$\frac{{a}^{2}-a+1}{a+1}$
=（a+1）+$\frac{3}{a+1}$-3
≥2$\sqrt{（a+1）•\frac{3}{a+1}}$-3
=2$\sqrt{3}$-3，
当且仅当（a+1）²=3时“=”成立，
故$\frac{a+1}{{a}^{2}-a+1}$≤$\frac{1}{2\sqrt{3}-3}$=$\frac{{2\sqrt{3}+3}}{3}$，
故答案为：$\frac{{2\sqrt{3}+3}}{3}$．

点评 本题考查了基本不等式的性质，考查转化思想，是一道中档题．