Question

8．若正实数x，y满足x+$\frac{1}{x}+y+\frac{1}{y}$=5，则xy的取值范围为[$\frac{1}{4}$，4]．

Answer 1

分析 利用基本不等式的性质以及二次函数的性质即可得出．

解答 解：∵正实数x，y满足x+$\frac{1}{x}+y+\frac{1}{y}$=5，
∴5=x+y+$\frac{x+y}{xy}$≥2$\sqrt{xy}$+$\frac{2\sqrt{xy}}{xy}$，
∴2${（\sqrt{xy}）}^{2}$-5$\sqrt{xy}$+2≤0，
解得：$\frac{1}{2}$≤$\sqrt{xy}$≤2，
故xy的范围是：$[{\frac{1}{4}，4}]$，
故答案为：[$\frac{1}{4}$，4]．

点评 本题考查了基本不等式的性质，属于基础题．