Question

10．设复数z₁=$\frac{\sqrt{3}}{2}$+$\frac{1}{2}$i，z₂=3+4i，则$\frac{{|z}_{1}^{2016}|}{|\overline{{z}_{2}}|}$=（　　）

• A． $\frac{2}{2015}$
• B． $\frac{1}{2016}$
• C． $\frac{1}{25}$
• D． $\frac{1}{5}$

Answer 1

分析 由于复数z₁=$\frac{\sqrt{3}}{2}$+$\frac{1}{2}$i=$cos\frac{π}{6}+isin\frac{π}{6}$，可得${z}_{1}^{2016}$=$cos\frac{2016π}{6}$+i$sin\frac{2016π}{6}$=1，$|\overline{{z}_{2}}|$=|3-4i|=5．即可得出．

解答 解：∵复数z₁=$\frac{\sqrt{3}}{2}$+$\frac{1}{2}$i=$cos\frac{π}{6}+isin\frac{π}{6}$，∴${z}_{1}^{2016}$=$cos\frac{2016π}{6}$+i$sin\frac{2016π}{6}$=cos336π+isin336π=1，
$|\overline{{z}_{2}}|$=|3-4i|=$\sqrt{{3}^{2}+（-4）^{2}}$=5．
∴$\frac{{|z}_{1}^{2016}|}{|\overline{{z}_{2}}|}$=$\frac{1}{5}$．
故选：D．

点评 本题考查了复数的运算法则、复数的周期性、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．