Question

11．已知数列{a_n}是等差数列，首项为3，公差为2．
（1）求数列{a_n}的前n项和S_n；
（2）求和：$\frac{1}{{S}_{1}}$+$\frac{1}{{S}_{2}}$+…+$\frac{1}{{S}_{n}}$．

Answer 1

分析 （1）直接由等差数列的前n项和公式求数列{a_n}的前n项和S_n；
（2）由$\frac{1}{{S}_{n}}=\frac{1}{{n}^{2}+2n}=\frac{1}{n（n+2）}=\frac{1}{2}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$，利用裂项相消法求$\frac{1}{{S}_{1}}$+$\frac{1}{{S}_{2}}$+…+$\frac{1}{{S}_{n}}$．

解答 解：（1）∵数列{a_n}是等差数列，首项为3，公差为2，
∴${S}_{n}=n{a}_{1}+\frac{n（n-1）d}{2}=3n+\frac{2n（n-1）}{2}={n}^{2}+2n$，
（2）∵$\frac{1}{{S}_{n}}=\frac{1}{{n}^{2}+2n}=\frac{1}{n（n+2）}=\frac{1}{2}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$，
∴$\frac{1}{{S}_{1}}$+$\frac{1}{{S}_{2}}$+…+$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{3}+\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+…+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$
=$\frac{1}{2}（1+\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）$=$\frac{3}{4}-\frac{2n+3}{2（n+1）（n+2）}$．

点评 本题考查等差数列的前n项和，训练了裂项相消法求数列的和，是中档题．