Question

3．已知有一条抛物线${y}^{2}=\frac{8e}{3}x$，且在其上存在三点A，B，D，且三角形ABD的重心恰好为抛物线的焦点，则当三角形ABD面积为最大时，三角形的三条边与x轴交于两点，记横坐标较大的点的横坐标为m，且记函数f（x）=xlnx；g（x）=k[k∈[-m，+∞）]．
（1）若f（x）=g（x）这组方程存在两根x₁，x₂，试求x₁x₂的取值范围．
（2）在（1）的条件下试求x₁+x₂的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出抛物线的焦点，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），D（x₃，y₃），运用重心坐标公式，可得x₁+x₂+x₃=2e，y₁+y₂+y₃=0，由题意可得一点在x轴上，且与原点重合，另外两点的连线垂直于x轴，可得m=e，即有k≥-e，先求出x₁，x₂的范围，令H（x）=lnx₁+lnx₂，运用构造函数法，通过判断函数的单调性证出结论即可得到所求范围；
（2）不妨令x₁＜x₂，得：0＜x₁＜$\frac{1}{e}$＜x₂，构造F（x）=f（$\frac{1}{e}$+x）-f（$\frac{1}{e}$-x），x∈[0，$\frac{1}{e}$），求出函数的导数，得到f（x₂）＞f（$\frac{2}{e}$-x₁）?x₂＞$\frac{2}{e}$-x₁，从而得到结论．

解答 解：（1）抛物线${y}^{2}=\frac{8e}{3}x$的焦点为（$\frac{2e}{3}$，0），
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），D（x₃，y₃），
由题意可得x₁+x₂+x₃=2e，y₁+y₂+y₃=0，
当三角形ABD面积为最大时，三角形的三条边与x轴交于两点，
即有一点在x轴上，且与原点重合，另外两点的连线垂直于x轴，
可得m=e，即有k≥-e，
f（x）的定义域是（0，+∞），f′（x）=lnx+1，
令f′（x）＞0，解得：x＞$\frac{1}{e}$，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜$\frac{1}{e}$
∴f（x）在（0，$\frac{1}{e}$）递减，在（$\frac{1}{e}$，+∞）递增，
∴f（x）_min=f（$\frac{1}{e}$）=-$\frac{1}{e}$，f（1）=0，
画出函数f（x）的图象，如图示
可得-$\frac{1}{e}$＜k＜0，
x₁lnx₁=x₂lnx₂，设x₁＜x₂，
则0＜x₁＜$\frac{1}{e}$，x₂＞$\frac{1}{e}$，
令H（x）=lnx₁+lnx₂=lnx₁+$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$lnx₁=（1+$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$）lnx₁，
∵x₂＞$\frac{1}{e}$，∴$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$＜ex₁，
∴H（x）＜（1+ex₁）lnx₁，
令g（x）=（1+ex）lnx，（0＜x＜$\frac{1}{e}$），
则g′（x）=elnx+e+$\frac{1}{x}$，g″（x）=$\frac{ex-1}{{x}^{2}}$，
∵x＜$\frac{1}{e}$，∴ex-1＜0，
∴g″（x）＜0，g′（x）是减函数，
又g′（$\frac{1}{e}$）=e，∴g′（x）＞g′（$\frac{1}{e}$），g′（x）＞0，
∴g（x）是增函数，又g（$\frac{1}{e}$）=-2，
∴g（x）＜g（$\frac{1}{e}$）=-2，
∴H（x）＜-2，
∴0＜x₁x₂＜$\frac{1}{{e}^{2}}$；
（2）由（1），不妨令x₁＜x₂，得：0＜x₁＜$\frac{1}{e}$＜x₂，
构造F（x）=f（$\frac{1}{e}$+x）-f（$\frac{1}{e}$-x），x∈[0，$\frac{1}{e}$），
F′（x）=ln（$\frac{1}{e}$+x）+ln（$\frac{1}{e}$-x）+2，
F″（x）=$\frac{2x}{{x}^{2}-\frac{1}{{e}^{2}}}$≤0恒成立，
F′（x）在x∈[0，$\frac{1}{e}$）上单调递减，
F′（x）≤F′（0）=0，F（x）在x∈[0，$\frac{1}{e}$）上单调递减，
F（x）≤F（0）=0，当且仅当x=0取“=”，
即对于x∈（0，$\frac{1}{e}$），f（$\frac{1}{e}$+x）＜f（$\frac{1}{e}$-x）恒成立，
又0＜x₁＜$\frac{1}{e}$，0＜$\frac{1}{e}$-x₁＜$\frac{1}{e}$，
∴f（x₂）=f（x₁）=f[$\frac{1}{e}$-（$\frac{1}{e}$-x₁）]＞f[$\frac{1}{e}$+（$\frac{1}{e}$-x₁）]
=f（$\frac{2}{e}$-x₁），
此时：$\frac{1}{e}$＜x₂，$\frac{1}{e}$＜$\frac{2}{e}$-x₁＜$\frac{2}{e}$，
由f（x）的递增区间为（$\frac{1}{e}$，+∞）知：
f（x₂）＞f（$\frac{2}{e}$-x₁）?x₂＞$\frac{2}{e}$-x₁，
即x₁+x₂＞$\frac{2}{e}$．
即有x₁+x₂的取值范围是（$\frac{2}{e}$，1+$\frac{1}{e}$）．

点评 本题考查抛物线的方程和性质，主要考查导数的运用：求单调区间、极值和最值，注意运用函数的单调性，考查不等式的性质，以及转化思想，是难题．