Question

已知数列{a_n}的各项均为正数，对任意n∈N^*，它的前n项和S_n满足S_n＝(a_n＋1)(a_n＋2)，并且a₂，a₄，a₉成等比数列．

(1)求数列{a_n}的通项公式；

(2)设b_n＝(－1)^n＋1a_na_n＋1，T_n为数列{b_n}的前n项和，求T_2n.

Answer 1

解　(1)∵对任意n∈N^*，有S_n＝(a_n＋1)(a_n＋2)，           ①

∴当n＝1时，有S₁＝a₁＝(a₁＋1)(a₁＋2)，

解得a₁＝1或2.

当n≥2时，有S_n－1＝(a_n－1＋1)(a_n－1＋2)．               ②

①－②并整理得(a_n＋a_n－1)(a_n－a_n－1－3)＝0.

而数列{a_n}的各项均为正数，∴a_n－a_n－1＝3.

当a₁＝1时，a_n＝1＋3(n－1)＝3n－2，

此时a＝a₂a₉成立；

当a₁＝2时，a_n＝2＋3(n－1)＝3n－1，

此时a＝a₂a₉不成立，舍去．

∴a_n＝3n－2，n∈N^*.

(2)T_2n＝b₁＋b₂＋…＋b_2n

＝a₁a₂－a₂a₃＋a₃a₄－a₄a₅＋…－a_2na_2n＋1

＝a₂(a₁－a₃)＋a₄(a₃－a₅)＋…＋a_2n(a_2n－1－a_2n＋1)

＝－6a₂－6a₄－…－6a_2n

＝－6(a₂＋a₄＋…＋a_2n)

＝－6×＝－18n²－6n.